Serie di Fourier

Supponiamo di avere una funzione periodica di periodo integrabile su tutto il periodo . Allora è possibile associare ad la sua serie di Fourier del tipo

con

Esercizio 13.10

Sviluppare in serie di Fourier la funzione periodica di periodo definita da

Dimostrare che

 


Questa funzione assume il valore 3 in . Per periodicità, faccio una copia della funzione in ogni intervallo del tipo .


Calcolo i coefficienti di Fourier. Osservo che quindi è pari e moltiplicata per una funzione dispari è dispari, è dispari, e il suo integrale in è nullo, cioè .

e siccome sto integrando una funzione pari su un dominio simmetrico:
Cambio di variabile:
Se , se .
Integro per parti, ponendo:
allora
allora per dispari l'integrale di partenza vale:
e la somma della serie di Fourier considerata è

C'è convergenza puntuale su , allora

Segue quindi che

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