Punti di discontinuità

Esercizio 1.6

Determinare i punti di discontinuità della funzione.

 

Per è continua (composizione di funzioni continue) e ben definita. Se è continua in il suo limite deve valere 0. Verifico se questo avviene in tutte le direzioni, calcolo ad esempio il limite sulle rette della forma :

Allora se mi avvicino all'origine lungo qualsiasi retta. Ma se considero una parabola di equazione , il limite lungo tale curva è:
Quindi se mi avvicino all'origine lungo la parabola il limite non vale 0, concludo che il limite non esiste. Quindi non è continua in .

Esercizio 1.7

Stabilire in quali punti del suo dominio ciascuna delle seguenti funzioni reali definite su è continua:

Suggerimento: per studiare la continuità di in , si provi a considerare la restrizione di all'insieme

.
 
  1. La funzione è continua e ben definita in tutti i punti diversi dall'origine.Studio la continuità di nell'origine: se è continua in tale punto, il limite deve valere 0.
    Spezzo la frazione in tre parti:
    L'ipotesi è che il limite tenda a 0, allora cerco di minorare il limite con una quantità che tende a 0.
    Allora per il teorema del confronto il limite di partenza vale 0, e quindi la funzione è continua nell'origine e su tutto .
  2. Verifico la continuità nell'origine.
    Considero la restrizione della funzione all'asse delle ascisse, cioè calcolo il limite lungo .
    Allora per , quindi la funzione non è continua nell'origine.
  3. par La funzione è continua e ben definita in tutti i punti del piano esclusa la bisettrice del secondo e quarto quadrante, cioè escluso l'insieme .
    Nei punti diversi dall'origine il limite è .Invece, nell'origine, considero la restrizione di ad e ottengo
    Sviluppando l'arcotangente si ha quindi ottengo:
    eseguendo i prodotti e trascurando i termini moltiplicati per :
    e la funzione non è continua nell'origine.
  4. Valuto il limite nei casi in cui , perché negli altri punti la funzione è continua e ben definita.
    Uso l'asintotico:
    Il limite vale per ogni , tranne nel caso , in cui si ha la forma di indicisione .Se sviluppo il seno:
    Allora la funzione non è continua nei punti dell'insieme .
  5. Valuto la continuità della funzione nei punti della forma :
    Osservo che , quindi :
    Il limite calcolato vale solo se , allora la funzione è continua nell'origine, ma in punti della forma con , la funzione non è continua.
  6. Verifico la continuità di nell'origine:
    Osservo che , quindi il limite da calcolare è minore o uguale di:
    allora per il teorema del confronto anche il limite di partenza tende a . La funzione è continua su tutto .
  7. Studio la continuità di nei punti della bisettrice .
    non è continua nei punti di diversi dall'origine, in cui il limite vale .Per , osservo che il limite non esiste, infatti se lo calcolo lungo rette della forma , ottengo:
    e il valore del limite varia a seconda della retta considerata.Concludo che non è continua nemmeno nell'origine.
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