Calcolo di limiti

Esercizio 1.1

Calcolare

 

Riscrivo il limite come

Il primo fattore, è , quindi in modulo è minore di . Siccome allora per il teorema del confronto il limite di partenza esiste e vale 0.

Esercizio 1.2

Calcolare

con

 

L'origine, in cui il seno al denominatore si annulla, è un punto di accumulazione del dominio della funzione.

Devo risolvere la forma indeterminata : ricordando che

moltiplico e divido per :
Il secondo fattore, per il limite notevole scritto sopra, tende a 1. Rimane quindi da calcolare
Calcolo il limite lungo due curve differenti. Osservo che lungo la curva si ha:
invece lungo la curva si ha
Siccome il limite assume valori diversi sulle due curve considerate, in bsae al teorema enunciato precedentemente il limite non esiste.

Osservazione 1.1

Dimostro nel dettaglio che

Parto dal presupposto che se , allora per definizione
Inoltre per il limite notevole
Allora
Allora

 


Esercizio 1.3

Calcolare

 

Anche in questo caso devo risolvere la forma di indecisione . Possiamo usare il metodo dell'esercizio precedente scrivendo

Siccome
Si può dimostrare che
Allora il primo fattore vale e si calcola:
Siccome
si ha
Allora:
Allora il limite di partenza tende a 0.
Per esercizio, calcolo quest'ultimo limite anche in coordinate polari.
Calcolo il limite uniformeme in . Considero
e si ottiene lo stesso risultato di prima.

Esercizio 1.4

Sia . Calcolare

 

Ho una forma indeterminata. Provo a calcolare il limite lungo direzioni fissate (il limite lungo queste curve dipende dal valore di ). Prendo prima la curva , e ottengo

Allora
Prendiamo un'altra curva e vediamo se i valori dei limiti coincidono. Considero la curva :
Confronto i due risultati ottenuti, riassunti nella tabella.
Il limite potrebbe esistere solo quando in entrambi i casi ha lo stesso valore, e quindi quando oppure .
Caso 1: . Calcolo il limite in coordinate polari per .
e il limite deve valere 0 uniformemente in .
Considero
Raccolgo al numeratore, mostro però che raccogliendo al denominatore non si arriva a nessun risultato, infatti si trova:
e si ha un denominatore che dipende ancora da .
Siccome , per mostrare che il limite vale 0 devo dimostrare che
è una quantità limitata, ed è possibile maggiorarla con un'altra quantità che tende a 0. Chiamo la quantità in modulo. Con , , inoltre . Quindi posso scrivere
Raccolgo : rispetto al raccoglimento precedente il denominatore non dipende da .
Posso maggiorare il numeratore in questo modo:
Il denominatore è sempre maggiore di una costante positiva perché seno e coseno non si annullano simultaneamente.

Quindi

e il sup è maggiorato da una quantità che tende a 0, allora il limite esiste e fa 0.

Caso 2:

Ora bisogna dimostrare che il limite uniforme in è per , e questo avviene se l'estremo inferiore di al variare di in è maggiore o uguale di .

Considero quindi

siccome , allora . il denominatore è minore di .

quindi

Siccome , posso scrivere
allora raccolgo al numeratore e al denominatore:
, la quantità che dipende da è maggiore o uguale da una costante positiva, e

Allora anche in questo caso il limite esiste.
Esercizio 1.5

Calcolare

 

ho una forma indeterminata . Introduciamo le coordinate polari

Maggioro questa funzione con una funzione che dipende da

ha un minimo in essendo continua in un compatto. Il minimo è una costante sempre positiva perché la funzione è somma di funzioni positive che non si annullino mai contemporaneamente. Inoltre

Allora
che è una funzione dipendente solo da , che tende a per . Allora il limite di partenza tende a .

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