Interali doppi con cambio di variabili

Consideriamo limitato, e sia un diffeomorfismo. Supponiamo di avere una funzione integrabile su , allora si può applicare la seguente formula per il cambio di variabili:

In realtà, per applicare la formula, basta che sia un diffeomorfismo tra e con insiemi.

Esercizio 9.6

Si calcoli

dove .

 

Studio del dominio: in base all'equazione , i punti devono stare all'esterno della circonferenza di centro nell'origine e raggio 2. Considero poi l'equazione:

quindi i punti devono stare all'interno della circonferenza di raggio e centro in .

In questo caso, per semplificare il calcolo dell'integrale, conviene passare a coordinate polari con la trasformazione tale che

Quindi ponendo , si ha:
Invece
Siccome il dominio sta nel primo quadrante .
Calcolo dell'integrale:
applicando la formula del cambio di variabili e aggiungendo il determinante jacobiano :

Esercizio 9.7

Si calcoli

dove .

 

Studio del dominio: Il dominio è racchiuso tra le circonferenze e . I punti di intersezione tra le due circonferenze si determinano risolvendo il sistema:

Sottraendo le due equazioni ottengo , quindi e l'unico punto di intersezione è . Il dominio è simmetrico rispetto all'asse .

Calcolo dell'integrale: Considero l'integrale:

che si spezza come
Nel secondo addendo l'integranda è dispari rispetto a , e viene integrata su un dominio simmetrico rispetto a , allora l'integrale vale 0. Rimane da calcolare solo il primo pezzo:
In coordinate polari l'equazione che definisce il dominio diventa:
Quindi , mentre implica , cioè . Inoltre
quindi varia in e calcolo l'integrale:

Esercizio 9.8

Calcolare l'integrale doppio

sull'insieme .

 

Studio del dominio: Il dominio è una corona circolare dove la circonferenza interna ha raggio e quella esterna ha raggio , e passando a coordinate polari, integro sull'insieme

Quindi
quindi complessivamente
Calcolo dell'integrale: ricordando di aggiungere il determinante jacobiano :
Cerco una primitiva di :
e tornando all'integrale:

Esercizio 9.9

Calcolare

con

 

Il dominio di integrazione è un triangolo in cui .

Introduciamo un cambio di coordinate lineari. Poniamo e .

Dobbiamo calcolare il determinante jacobiano della funzione che manda in .

e sommando e sottraendo le due equazioni ottengo il sistema:
e siccome la trasformazione è lineare e , allora è un diffeomorfismo. Riscrivendo le equazioni in termini di e :
Nel piano , il dominio è sempre un triangolo, delimitato però dalla retta orizzontale e dalle bisettrici.
Esprimendo in funzione di , si ha con , quindi calcolo l'integrale:

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