Integrali doppi

Esercizio 9.1

Calcolare l'integrale doppio su della funzione

con

 

Studio del dominio :

Questo significa che il dominio è delimitato ai lati dalle rette verticali , si trova sotto la parabola rivolta verso l'alto di vertice e sopra la retta passante per e parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante.

Non ci sono punti di intersezione tra la retta e la parabola. Invece, la retta interseca la parabola in e la retta in , e la retta interseca la parabola in e la retta in .

Il denominatore si annulla se e solo se

ma questa retta, parallela a , non interseca il dominio .

Allora è continua e integrabile su .

Calcolo dell'integrale:
Calcolo prima l'integrale interno, e cerco una primitiva di considerando come variabile:
Esercizio 9.2

Calcolare, dopo aver invertito l'ordine di integrazione,

 

Osservo che

allora la funzione è continua e integrabile.
Studio del dominio: Per poter invertire l'ordine di integrazione, è necessario riscrivere il dominio dato
come una regione -semplice nella forma:
Determino quindi .
Dalla definizione di ricavo che:
quindi, siccome , la disuguaglianza può essere soddisfatta solo per negative.
Inoltre dev'essere:
e per si ha:
per l'argomento della radice è positivo, e posso elevare al quadrato:
e il dominio è delimitato dalla semicirconferenza di raggio 1 e centro nell'origine.
Riassumendo, l'insieme sta nel secondo quadrante ( negative), ed è delimitato dal basso dalla retta e dall'alto dalla semicirconferenza .

Quindi , e siccome

si ha .
Gli estremi e dell'intervallo in cui varia sono le ascisse dei punti di intersezione tra la retta e la semicirconferenza, . Quindi .

Quindi si scrive come

Calcolo dell'integrale:
Integro per parti :
e quindi sostituendo nell'integrale da calcolare:

Esercizio 9.3

Calcolare l'area dell'insieme

 

Studio del dominio: L'area di un insieme limitato di è data da:

Le disuguaglianze che definiscono sono
Si ricava inoltre , quindi
La prima equazione ha soluzioni , e la seconda ha soluzione .
In conclusione è delimitato dalle due rette verticali , ed è formato da quattro spicchi, uno in ogni quadrante, delimitati da un arco di parabola e dalla retta .

Siccome il dominio è simmetrico, basta calcolare l'area di uno spicchio e moltiplicarla per 4: la simmetria di si deduce anche dalla definizione, infatti implica , , .

Lo spicchio nel primo quadrante si può scrivere come regione -semplice:

Calcolo dell'integrale:

Esercizio 9.4

Calcolare

con

 

Studio del dominio: L'equazione implica che è un sottoinsieme di un cerchio di centro nell'origine e di raggio .

Invece

Usando i metodi del completamento del quadrato:
cioè i punti dell'insieme stanno all'esterno della circonferenza di centro e raggio 1, che interseca l'asse in e .
Siccome considero solo l'intersezione tra il dominio e il primo quadrante.

Spezzo il dominio in due parti: per , il dominio è compreso tra gli archi di e , mentre per il dominio è compreso tra la retta e un arco di . In particolare è unione disgiunta di e con:

Calcolo dell'integrale: per la proprietà di additività dell'integrale:
Calcolo i due integrali separatamente:
L'integrale è ben definito perché il denominatore non si annulla in .
Eseguo la divisione:
allora

Esercizio 9.5

Calcolare l'integrale doppio

dove è il trapezio di vertici , , e .

 

Studio del dominio: Il dominio è una regione x-semplice, in cui , mentre è delimitata da due rette: dal basso è delimitata da:

mentre dall'alto è delimitato da .

Calcolo dell'integrale:

Integro i due addendi per parti:
quindi tornando all'integrale di partenza

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