Esercizio 8.4
Date le forme differenziali:


con

definita su

, verificare se sono esatte. In caso affermativo trovarne una primitiva.
Prima forma differenziale: Siccome
è definita su un aperto stellato, se
è esatta, allora è anche chiusa. Verifichiamo quindi se
è chiusa:

Deve valere:

cioè

, e siccome la prima condizione per la chiusra non vale

non è chiusa quindi

non è nemmeno esatta.
Seconda forma differenziale: Analogamente, verifico che

è chiusa.



allora tutte e tre le condizioni di chiusura sono soddisfatte quindi

è chiusa in

, inoltre

è un insieme stellato rispetto a qualsiasi suo punto, allora la forma differenziale è anche esatta.
Cerco una primitiva per

usando i tre procedimenti descritti sopra:
- Procedimento 1: Sia
una primitiva di
, allora
cioè
deve risolvere il sistema:
e integrando la prima equazione:
Derivo rispetto a
l'espressione di
:
ma dalla seconda equazione,
, ed eguagliando le due diverse espressioni per la derivata parziale:
e questo è vero se e solo se:
cioè
e risostituendo nell'espressione di
l'espressione trovata per
:
e derivando rispetto a
:

e integrando:
quindi
- Procedimento 2: Scelgo il punto
in
. Allora\,ds+\int _{0}^{y}[x^{3}](x,t,1)\,dt+\int _{1}^{z}\,[-1/z](x,y,u)du}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/1644612c794f602b22b2de7c2f876d9bc71dc628)


- Procedimento 3: Parametrizzo la curva che unisce
a
:![{\displaystyle \gamma =(tx,ty,1+t(z-1)),\quad \quad t\in [0,1]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/6eb92b5dcac9ce5bf789e07abcd4f79b3ab69dd0)
Calcoliamo:







![{\displaystyle [4x^{3}yt^{4}/4-\log |1+t(z-1)|]_{0}^{1}=}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/a6f8cdc3e6ca3e56cb4d4f31476701bb7de5a9c6)

Esercizio 8.5
Si determinino
tali che la forma
differenziale

sia esatta in

. Per tali valori di determinino le primitive di

.
è un aperto stellato, quindi
è esatta se e solo se
è chiusa.
Determino
affinché
sia chiusa.
Ponendo

si ha:



è chiusa se e solo se


e l'equazione è soddisfatta se

, quindi ottengo la forma differenziale:

Cerco la primitiva

risolvendo il sistema:





Esercizio 8.6
Trovare una funzione
tale che la forma differenziale:

abbia una primitiva

definita nel semipiano

e tale che

.
- Il semipiano è stellato, quindi
è esatta e ammette una primitiva se e solo se
è chiusa, quindi cerco
tale che
sia chiusa.
è chiusa se e solo se:


e per
:
- Per determinare
, risolvo l'equazione differenziale che ho ottenuto:







Scelgo per semplicità
:
- sostituisco l'espressione di
nella forma differenziale e ottengo:

- Cerco una primitiva della forma differenziale, scelgo come punto base


![{\displaystyle \phi (x,y)=x^{2}/2+[t^{2}/2+1/2{\frac {x^{2}}{t^{2}}}]_{-1}^{y}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/c0e87b89cec39c05261744942bd18a9bf7aa49f1)


- Determino
in modo che la primitiva soddisfi la condizione
.
quindi
- Come verifica finale, posso derivare la primitiva e verificare che si ottiene
.
Esercizio 8.7
Si determini una funzione
tale che la forma differenziale

sia esatta in

. Si determini quindi una primitiva di

.
Determinazione della funzione
: L'esattezza della forma differenziale equivale alla sua chiusura. Quindi impongo:



ed eguagliando le derivate ottengo:









e poniamo

, e sostituendo nella forma differenziale:

Ricerca della primitiva: integro a partire dal punto base

.


![{\displaystyle \phi (x,y)=[e^{\arctan x}*u+e^{-x^{2}}*u^{2}/2]_{0}^{y}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/8ef8975f4a4630b8713a8e3a0a859fcb72dd0657)

Esercizio 8.8
Si determini una funzione
tale che
e la forma differenziale

sia esatta in

. Si calcoli inoltre una
primitiva di

in

.
è un aperto stellato, quindi chiusura ed esatteszza sono equivalenti. Dopo aver calcolato le derivate parziali:


impongo che la forma differenziale sia chiusa e ottengo l'equazione differenziale:

Voglio quindi risolvere il problema di Cauchy:


e per

:

E risolvo l'equazione a variabili separabili:




e siccome

, si pone

. Sostituendo nell'espressione di

:
Sostituendo
nell'espressione di
ottengo:

L'insieme

è stellato rispetto al punto

. Allora una primitiva di

è data da:

![{\displaystyle (x^{2}+x+5)*[\tan t]_{0}^{y}=(x^{2}+x+5)*\tan y+c}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/a6a4f19bb02da0ffe835e8e3bd05003223405c86)