- Sia
un aperto connesso, e supponiamo che
sia unione di curve chiuse e semplici regolari e supponiamoche
sia decomponibile in un numero finito di insiemi semplici rispetto agli assi. Un dominio che soddisfa questi requisiti è un dominio ammissibile per il teorema di Gauss-Green.
- Nelle ipotesi precedenti valgono le formule di Gauss-Green:

dove
è la frontiera di
orientata positivamente.
Esercizio 8.9
Considerando la forma differenziale

dimostrare che

è esatta in

senza calcolare esplicitamente una primitiva.
è esatta in
se e solo se

per ogni

cammino chiuso e semplice con

.
Facciamo le seguenti considerazioni:
- La forma differenziale
è definita in
, ed è chiusa, infatti:
Sia
un cammino chiuso e semplice che non avvolge l'origine, cioè la parte interna a
non contiene l'origine. Allora posso circondare
con un aperto che non contiene l'origine, e che posso scegliere stellato. Allora siccome
è esatta:
per ogni
tale che l'origine non appartenga alla parte interna della curva.
- Dobbiamo invece dimostrare che

per le curve che avvolgono l'origine. Allora cerco una famiglia di curve di questo tipo su cui l'integrale di
è nullo.Consideriamo le curve:![{\displaystyle \gamma _{r}(t)=(r\cos t,r\sin t)\quad t\in [0,2\pi ]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/e2cad007d86247ba56538bbaf9d79c1162da079a)
cioè equazioni di circonferenze centrate nell'origine percorse in senso antiorario.
- Presa una curva qualsiasi che circonda l'origine, allora esiste un punto sulla curva che ha distanza minima rispetto all'origine, e la chiamo
. Considero la circonferenza centrata nell'origine e di raggio
che non interseca la curva esterna. Percorro
in senso antiorario e la circonferenza in senso orario ed ottengo una curva chiusa, allora se considero
ottengo un dominio ammissibile per il teorema di Gauss-Green.Quindi:
ma l'integrando al terzo membro è nullo perché la forma differenziale è chiusa, e quindi anche
.
- Si conclude scrivendo che:

quindi
ma
per l'osservazione precedente e quindi
per ogni curva chiusa in
.
Esercizio 8.10
Si discutano chiusura ed esattezza della forma differenziale

definita come

Nel caso in cui

sia esatta, se ne determini una primitiva.
Verifico prima la condizione di chiusura:






Invece







allora la forma differenziale è chiusa.
Siccome

non è un aperto stellato, chiusura ed esattezza della forma differenziale non sono equivalenti.
L'integrale di
su una qualsiasi curva che non avvolge l'origine è nulla, perché posso restringere
a un aperto contenente il sostegno della curva ma non contenente l'origine, che sia stellato, e in questo caso, siccome la forma differenziale è chiusa, è anche esatta.
Considero invece una famiglia di curve che avvolgono l'origine, ad esempio considero le circonferenze di raggio r e calcolo l'integrale di
su curve di questo tipo.







![{\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\cos t\,dt=[\sin t]_{0}^{2\pi }=0}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/b1f507b74fc58123162f5cf2f8e1d388940a0216)
allora l'integrale è nullo su tutte le circonferenze che avvolgono l'origine.
Considero una qualsiasi curva

che avvolge l'origine e che sia chiusa: allora esisterà una circonferenza tale che il sostegno di

contenga quello della circonferenza, e tale che l'intersezione tra l'esterno della circonferenza e l'interno di

sia un dominio ammissibile per il teorema di Green. Allora:

ma il primo integrale è nullo quindi l'integrale su ogni curva chiusa che avvolge l'origine è nullo. Segue quindi che

è esatta.
Esercizio 8.11
Considero la forma differenziale
:




trovare la primitiva di

definita nel quadrato

e tale che

.
Se pongo

allora posso riscrivere

come:

e trovare una primitiva di

equivale a trovare primitive di

.

è definita su un aperto non stellato

, è chiusa ma non è esatta, quindi non ha una primitiva globale.
Considero

nei quattro semipiani

,

,

,

.
- Nel sempiiano
, si ha:

Allora una primitiva si trova integrando a partire dal punto base
e ponendo:



- Nel semipiano
la primitiva di
coincide con
, e l'unica differenza è che non si può integrare a partire da
ma da
.
- Nel semipiano
, integro partendo da
e ottengo:



e questa è l'espressione della primitiva di
nel semipiano
.
- nel semipiano
la primitiva di
coincide con
.
Riassumendo, la primitiva di

è definita come:

Nel primo quadrante, pongo
e vogliamo dimostrare che:

Definiamo

Osserviamo che

mentre la derivata


è sempre nulla, allora

è costante e vale sempre

, cioè

Per trovare le primitive di
basta sostituire a
le espressioni corrispondenti:
ha come punto singolare
nel semipiano
, e la sua primitiva è 
ha come punto singolare
nel semipiano
e ha come primitiva
.
ha come punto singolare
nel semipiano
, e ha come primitiva
.
ha come punto singolare
nel semipiano
e ha come primitiva
.
Quindi, riassumendo:

siccome cerco la primitiva che si annulla nell'origine, si pone