Calcolo di integrali curvilinei

Esercizio 8.1

Calcolare:

$$\int _{\gamma }\omega$$

$$\int _{\gamma }\omega$$

con

$$\omega =(y-z)\,dx+(z+x)\,dy+(x+y)\,dz$$

$$\omega =(y-z)\,dx+(z+x)\,dy+(x+y)\,dz$$

e

$$\gamma =\{x(t)=2\cos t,\,y(t)={\sqrt {2}}\sin t,\,z(t)={\sqrt {2}}\sin t\}$$

$$\gamma =\{x(t)=2\cos t,\,y(t)={\sqrt {2}}\sin t,\,z(t)={\sqrt {2}}\sin t\}$$

con $0\leq t\leq 2\pi$$0\leq t\leq 2\pi$.

 

Per calcolare l'integrale richiesto basta applicare la definizione, quindi calcolo:

$$x'(t)=-2\sin t,\,y'(t)={\sqrt {2}}\cos t=z'(t)$$

$$x'(t)=-2\sin t,\,y'(t)={\sqrt {2}}\cos t=z'(t)$$

Allora:

$$\int _{\gamma }\omega =\int _{0}^{2\pi }-[{\sqrt {2}}\sin t-{\sqrt {2}}\sin t]*2\sin t+({\sqrt {2}}\sin t+2\cos t){\sqrt {2}}\cos t+(2\cos t+{\sqrt {2}}\sin t)*{\sqrt {2}}\cos t\,dt$$

$$\int _{\gamma }\omega =\int _{0}^{2\pi }-[{\sqrt {2}}\sin t-{\sqrt {2}}\sin t]*2\sin t+({\sqrt {2}}\sin t+2\cos t){\sqrt {2}}\cos t+(2\cos t+{\sqrt {2}}\sin t)*{\sqrt {2}}\cos t\,dt$$

(Il primo termine è nullo)

$$=\int _{0}^{2\pi }({\sqrt {2}}\sin t+2\cos t+2\cos t+{\sqrt {2}}\sin t)*{\sqrt {2}}\cos t\,dt$$

$$=\int _{0}^{2\pi }({\sqrt {2}}\sin t+2\cos t+2\cos t+{\sqrt {2}}\sin t)*{\sqrt {2}}\cos t\,dt$$

$$=\int _{0}^{2\pi }4\sin t\cos t+4{\sqrt {2}}\cos ^{2}t\,dt=$$

$$=\int _{0}^{2\pi }4\sin t\cos t+4{\sqrt {2}}\cos ^{2}t\,dt=$$

$$=\int _{0}^{2\pi }2\sin(2t)\,dt+\int _{0}^{2\pi }4{\sqrt {2}}\cos ^{2}t\,dt=$$

$$=\int _{0}^{2\pi }2\sin(2t)\,dt+\int _{0}^{2\pi }4{\sqrt {2}}\cos ^{2}t\,dt=$$

Il primo addendo è nullo, calcolo il secondo addendo:

$$=4{\sqrt {2}}[1/2(1+\sin(2t))]_{0}^{2\pi }=4{\sqrt {2}}\pi$$

$$=4{\sqrt {2}}[1/2(1+\sin(2t))]_{0}^{2\pi }=4{\sqrt {2}}\pi$$

Esercizio 8.2

Si stabilisca se la forma differenziale

$$\omega (x,y)={\frac {x}{1+x^{2}+y^{2}}}\,dx-{\frac {y}{1+x^{2}+y^{2}}}\,dy$$

$$\omega (x,y)={\frac {x}{1+x^{2}+y^{2}}}\,dx-{\frac {y}{1+x^{2}+y^{2}}}\,dy$$

è esatta in $\mathbb {R} ^{2}$$\mathbb {R} ^{2}$. Si calcoli inoltre l'integrale di $\omega$$\omega$ sul cammino chiuso ottenuto percorrendo prima il segmento che congiunge $(0,0)$$(0,0)$ con $(1,0)$$(1,0)$, poi l'arco della circonferenza di centro $(0,0)$$(0,0)$ e raggio 1 compreso tra $(1,0)$$(1,0)$ e $(0,1)$$(0,1)$ (percorso in senso antiorario) e infine il segmento che congiunge $(0,1)$$(0,1)$ con $(0,0)$$(0,0)$.

 

Verifica dell'esattezza: Osservo che

$${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=-{\frac {x}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}}*2y={\frac {-2xy}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}}}$$

$${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=-{\frac {x}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}}*2y={\frac {-2xy}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}}}$$

$${\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}={\frac {2xy}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}}$$

$${\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}={\frac {2xy}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}}$$

e la forma differenziale non è chiusa perché ${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\neq {\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}$${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\neq {\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}$. Siccome $\mathbb {R} ^{2}$$\mathbb {R} ^{2}$ è un aperto stellato chiusura ed esattezza sono equivalenti, quindi $\omega$$\omega$ non è neanche esatta.

Calcolo dell'integrale: Parametrizzo la curva chiusa, che è unione di:

$$\gamma _{a}=\{(x,y)\,t.c.\,x=0,\,y=t,\,t\in (0,1)\}$$

$$\gamma _{a}=\{(x,y)\,t.c.\,x=0,\,y=t,\,t\in (0,1)\}$$

$$\gamma _{b}=\{(x,y)\,t.c.\,x=\cos t,y=\sin t,\,t\in (0,\pi /2)\}$$

$$\gamma _{b}=\{(x,y)\,t.c.\,x=\cos t,y=\sin t,\,t\in (0,\pi /2)\}$$

$$\gamma _{c}=\{(x,y)\,t.c.\,x=1-t,y=0,\,0<t<1\}$$

$$\gamma _{c}=\{(x,y)\,t.c.\,x=1-t,y=0,\,0<t<1\}$$

$$\int _{\gamma }\omega =I_{1}+I_{2}+I_{3}$$

$$\int _{\gamma }\omega =I_{1}+I_{2}+I_{3}$$

$$I_{1}=\int _{0}^{1}f_{1}(\gamma _{a})*\gamma _{a,1}'+f_{2}(\gamma _{a})*\gamma _{a,2}'\,dt=\int _{0}^{1}-{\frac {t}{1+t^{2}}}\,dt$$

$$I_{1}=\int _{0}^{1}f_{1}(\gamma _{a})*\gamma _{a,1}'+f_{2}(\gamma _{a})*\gamma _{a,2}'\,dt=\int _{0}^{1}-{\frac {t}{1+t^{2}}}\,dt$$

$$=[-1/2*\log(1+t^{2})]_{0}^{1}=-1/2*\log 2=-\log {\sqrt {2}}$$

$$=[-1/2*\log(1+t^{2})]_{0}^{1}=-1/2*\log 2=-\log {\sqrt {2}}$$

$$I_{2}=\int _{0}^{\pi /2}-{\frac {\cos t}{1+\sin ^{2}t+\cos ^{2}t}}*\sin t-{\frac {\sin t}{1+\cos ^{2}t+\sin ^{2}t}}*\cos t\,dt$$

$$I_{2}=\int _{0}^{\pi /2}-{\frac {\cos t}{1+\sin ^{2}t+\cos ^{2}t}}*\sin t-{\frac {\sin t}{1+\cos ^{2}t+\sin ^{2}t}}*\cos t\,dt$$

$$=\int _{0}^{\pi /2}-2\cos t\sin t\,dt=$$

$$=\int _{0}^{\pi /2}-2\cos t\sin t\,dt=$$

$$=\int _{0}^{\pi /2}-\sin(2t)\,dt=[1/2\cos(2t)]_{0}^{\pi /2}=1/2*(-1-1)=-1$$

$$=\int _{0}^{\pi /2}-\sin(2t)\,dt=[1/2\cos(2t)]_{0}^{\pi /2}=1/2*(-1-1)=-1$$

$$I_{3}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t}{1+(1-t)^{2}}}\,dt=$$

$$I_{3}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t}{1+(1-t)^{2}}}\,dt=$$

$$=[1/2\log(1+(1-t)^{2}]_{0}^{1}=-\log {\sqrt {2}}$$

$$=[1/2\log(1+(1-t)^{2}]_{0}^{1}=-\log {\sqrt {2}}$$

$$I=-1-2\log {\sqrt {2}}=-1-\log 2$$

$$I=-1-2\log {\sqrt {2}}=-1-\log 2$$

Esercizio 8.3

Siano $\Omega =\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\,2y+x>0\}$$\Omega =\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\,2y+x>0\}$ e $\omega :\Omega \to (\mathbb {R} ^{2})^{\ast }$$\omega :\Omega \to (\mathbb {R} ^{2})^{\ast }$ definita come

$$\omega (x,y)={\frac {y}{2y+x}}\,dx+[\log(2y+x)+{\frac {2y}{2y+x}}]\,dy.$$

$$\omega (x,y)={\frac {y}{2y+x}}\,dx+[\log(2y+x)+{\frac {2y}{2y+x}}]\,dy.$$

Si calcoli $\int _{\gamma }\omega$$\int _{\gamma }\omega$ dove $\gamma :[0,\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}$$\gamma :[0,\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}$, $\gamma (t)=(\sin t,{\frac {e^{t}}{t+1}})$$\gamma (t)=(\sin t,{\frac {e^{t}}{t+1}})$.

 

$${\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}={\frac {1}{2y+x}}-{\frac {2y}{(2y+x)^{2}}}$$

$${\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}={\frac {1}{2y+x}}-{\frac {2y}{(2y+x)^{2}}}$$

$$={\frac {2y+x-2y}{(2y+x)^{2}}}={\frac {x}{(2y+x)^{2}}}$$

$$={\frac {2y+x-2y}{(2y+x)^{2}}}={\frac {x}{(2y+x)^{2}}}$$

Invece

$${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}={\frac {1*(2y+x)-2y}{(2y+x)^{2}}}={\frac {x}{(2y+x)^{2}}}$$

$${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}={\frac {1*(2y+x)-2y}{(2y+x)^{2}}}={\frac {x}{(2y+x)^{2}}}$$

allora la forma differenziale è chiusa, e siccome $\Omega$$\Omega$ è semplicemente connesso, $\Omega$$\Omega$ è anche esatta.
Allora, prese due curve che hanno gli estremi in comune, tali che $\gamma (a)=\eta (a)$$\gamma (a)=\eta (a)$ e $\gamma (b)=\eta (b)$$\gamma (b)=\eta (b)$ si ha:

$$\int _{\gamma }\omega =\int _{\eta }\omega$$

$$\int _{\gamma }\omega =\int _{\eta }\omega$$

Tenendo conto che $\gamma (0)=(0,1)$$\gamma (0)=(0,1)$ e $\gamma (\pi )=(0,{\frac {e^{\pi }}{\pi +1}})$$\gamma (\pi )=(0,{\frac {e^{\pi }}{\pi +1}})$ invece di calcolare direttamente l'integrale sulla curva $\gamma$$\gamma$, lo calcolo sulla curva più semplice $\eta$$\eta$, che ha in comune gli estremi con $\gamma$$\gamma$ ed è definita come:

$$\eta \colon [0,\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}$$

$$\eta \colon [0,\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}$$

tale che

$$\eta (t)=(0,1+t({\frac {e^{\pi }}{\pi (\pi +1)}}-1/\pi ))$$

$$\eta (t)=(0,1+t({\frac {e^{\pi }}{\pi (\pi +1)}}-1/\pi ))$$

$$\eta (t)=(0,1+t({\frac {e^{\pi }-\pi -1}{\pi (\pi +1)}}))=(0,1+tk)$$

$$\eta (t)=(0,1+t({\frac {e^{\pi }-\pi -1}{\pi (\pi +1)}}))=(0,1+tk)$$

con $k={\frac {e^{\pi }-\pi -1}{\pi (\pi +1)}}$$k={\frac {e^{\pi }-\pi -1}{\pi (\pi +1)}}$.

$$\int _{\eta }\omega =\int _{0}^{\pi }{\frac {1+tk}{2(1+tk)+0}}*0+[\log(1+tk+0)+{\frac {2(1+tk)}{2(1+tk)+0}}]*k\,dt$$

$$\int _{\eta }\omega =\int _{0}^{\pi }{\frac {1+tk}{2(1+tk)+0}}*0+[\log(1+tk+0)+{\frac {2(1+tk)}{2(1+tk)+0}}]*k\,dt$$

$$=\int _{0}^{\pi }[\log(1+tk)+1]*k\,dt$$

$$=\int _{0}^{\pi }[\log(1+tk)+1]*k\,dt$$

$$=k\int _{0}^{\pi }\log(1+tk)+1\,dt$$

$$=k\int _{0}^{\pi }\log(1+tk)+1\,dt$$

$$=k\pi +k\int _{0}^{\pi }\log(1+tk)\,dt$$

$$=k\pi +k\int _{0}^{\pi }\log(1+tk)\,dt$$

Integrando per parti:

$$=k\pi +k*\{[t*\log(1+tk)]_{0}^{\pi }-\int _{0}^{\pi }{\frac {t}{1+kt}}\,dt$$

$$=k\pi +k*\{[t*\log(1+tk)]_{0}^{\pi }-\int _{0}^{\pi }{\frac {t}{1+kt}}\,dt$$

$$=k\pi +k*\{[t*\log(1+tk)]_{0}^{\pi }-1/k\int _{0}^{\pi }{\frac {kt}{1+kt}}\,dt$$

$$=k\pi +k*\{[t*\log(1+tk)]_{0}^{\pi }-1/k\int _{0}^{\pi }{\frac {kt}{1+kt}}\,dt$$

$$=k\pi +k*\{[t*\log(1+tk)]_{0}^{\pi }-1/k\int _{0}^{\pi }1-{\frac {1}{1+kt}}\,dt$$

$$=k\pi +k*\{[t*\log(1+tk)]_{0}^{\pi }-1/k\int _{0}^{\pi }1-{\frac {1}{1+kt}}\,dt$$

$$=k\pi +k*\{[t*\log(1+tk)]_{0}^{\pi }-1/k(t-1/k*\log(1+kt)]_{0}^{\pi }\}$$

$$=k\pi +k*\{[t*\log(1+tk)]_{0}^{\pi }-1/k(t-1/k*\log(1+kt)]_{0}^{\pi }\}$$

$$==k\pi +[t*\log(1+tk)-1/k*t+1/k^{2}*\log(1+kt)]_{0}^{\pi }$$

$$==k\pi +[t*\log(1+tk)-1/k*t+1/k^{2}*\log(1+kt)]_{0}^{\pi }$$

$$=\pi k+\pi *\log(1+\pi k)-\pi /k+1/k^{2}*\log(1+\pi k)$$

$$=\pi k+\pi *\log(1+\pi k)-\pi /k+1/k^{2}*\log(1+\pi k)$$

con

$$k=({\frac {e^{\pi }-\pi -1}{\pi (\pi +1)}}.$$

$$k=({\frac {e^{\pi }-\pi -1}{\pi (\pi +1)}}.$$