Calcolo di integrali curvilinei

Esercizio 8.1

Calcolare:

con
e
con .

 

Per calcolare l'integrale richiesto basta applicare la definizione, quindi calcolo:

Allora:
(Il primo termine è nullo)
Il primo addendo è nullo, calcolo il secondo addendo:

Esercizio 8.2

Si stabilisca se la forma differenziale

è esatta in . Si calcoli inoltre l'integrale di sul cammino chiuso ottenuto percorrendo prima il segmento che congiunge con , poi l'arco della circonferenza di centro e raggio 1 compreso tra e (percorso in senso antiorario) e infine il segmento che congiunge con .

 

Verifica dell'esattezza: Osservo che

e la forma differenziale non è chiusa perché . Siccome è un aperto stellato chiusura ed esattezza sono equivalenti, quindi non è neanche esatta.

Calcolo dell'integrale: Parametrizzo la curva chiusa, che è unione di:

Esercizio 8.3

Siano e definita come

Si calcoli dove , .

 

Invece
allora la forma differenziale è chiusa, e siccome è semplicemente connesso, è anche esatta.
Allora, prese due curve che hanno gli estremi in comune, tali che e si ha:
Tenendo conto che e invece di calcolare direttamente l'integrale sulla curva , lo calcolo sulla curva più semplice , che ha in comune gli estremi con ed è definita come:
tale che
con .
Integrando per parti:
con

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