Esercizio 8.1
Calcolare:

con

e

con

.
Per calcolare l'integrale richiesto basta applicare la definizione, quindi calcolo:

Allora:
![{\displaystyle \int _{\gamma }\omega =\int _{0}^{2\pi }-[{\sqrt {2}}\sin t-{\sqrt {2}}\sin t]*2\sin t+({\sqrt {2}}\sin t+2\cos t){\sqrt {2}}\cos t+(2\cos t+{\sqrt {2}}\sin t)*{\sqrt {2}}\cos t\,dt}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/285a9d17bd9766b9d2bd1610dcc190e5fca76600)
(Il primo termine è nullo)



Il primo addendo è nullo, calcolo il secondo addendo:
![{\displaystyle =4{\sqrt {2}}[1/2(1+\sin(2t))]_{0}^{2\pi }=4{\sqrt {2}}\pi }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/172f8bfa9eb616e09c42816b4c2e0d05dc494d60)
Esercizio 8.2
Si stabilisca se la forma differenziale

è esatta in

. Si calcoli inoltre l'integrale di

sul
cammino chiuso ottenuto percorrendo prima il segmento che congiunge

con

, poi l'arco della circonferenza di centro

e raggio
1 compreso tra

e

(percorso in senso antiorario) e
infine il segmento che congiunge

con

.
Verifica dell'esattezza: Osservo che


e la forma differenziale non è chiusa perché

. Siccome

è un aperto stellato chiusura ed esattezza sono equivalenti, quindi

non è neanche esatta.
Calcolo dell'integrale: Parametrizzo la curva chiusa, che è unione di:





![{\displaystyle =[-1/2*\log(1+t^{2})]_{0}^{1}=-1/2*\log 2=-\log {\sqrt {2}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/8a66e6cec84754c7d4904da5b734e061dd1d4612)


![{\displaystyle =\int _{0}^{\pi /2}-\sin(2t)\,dt=[1/2\cos(2t)]_{0}^{\pi /2}=1/2*(-1-1)=-1}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/19f3123dc0e2f01e82465f3b475932535713503b)

![{\displaystyle =[1/2\log(1+(1-t)^{2}]_{0}^{1}=-\log {\sqrt {2}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/c3e47def9a67f7cadcee0205f6175f376d70a121)

Esercizio 8.3
Siano
e
definita come
![{\displaystyle \omega (x,y)={\frac {y}{2y+x}}\,dx+[\log(2y+x)+{\frac {2y}{2y+x}}]\,dy.}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/9103f32d73757e790661e2a74410d55a4b2cdff1)
Si calcoli

dove
![{\displaystyle \gamma :[0,\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/8312f5d4fca2316d332bb9572dd88956497583d4)
,

.


Invece

allora la forma differenziale è chiusa, e siccome

è semplicemente connesso,

è anche esatta.
Allora, prese due curve che hanno gli estremi in comune, tali che

e

si ha:

Tenendo conto che

e

invece di calcolare direttamente l'integrale sulla curva

, lo calcolo sulla curva più semplice

, che ha in comune gli estremi con

ed è definita come:
![{\displaystyle \eta \colon [0,\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/b6a9e3165911c33b2acca619d147e08978732ab4)
tale che


con

.
![{\displaystyle \int _{\eta }\omega =\int _{0}^{\pi }{\frac {1+tk}{2(1+tk)+0}}*0+[\log(1+tk+0)+{\frac {2(1+tk)}{2(1+tk)+0}}]*k\,dt}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/ea91ece67a1cc2cf4a2403839b8e5c26ae816ab4)
![{\displaystyle =\int _{0}^{\pi }[\log(1+tk)+1]*k\,dt}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/ecc27e8c50d7cd27ee88234315f46fd7c5b54199)


Integrando per parti:
![{\displaystyle =k\pi +k*\{[t*\log(1+tk)]_{0}^{\pi }-\int _{0}^{\pi }{\frac {t}{1+kt}}\,dt}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/664ba96d20758a86b7451eb55d266a861889261d)
![{\displaystyle =k\pi +k*\{[t*\log(1+tk)]_{0}^{\pi }-1/k\int _{0}^{\pi }{\frac {kt}{1+kt}}\,dt}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/6a94e55270fdff0d83861c388f7a3966dd72a8a5)
![{\displaystyle =k\pi +k*\{[t*\log(1+tk)]_{0}^{\pi }-1/k\int _{0}^{\pi }1-{\frac {1}{1+kt}}\,dt}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/54f746158b7b0d0f854d39e7fe28d7a67fa35a70)
![{\displaystyle =k\pi +k*\{[t*\log(1+tk)]_{0}^{\pi }-1/k(t-1/k*\log(1+kt)]_{0}^{\pi }\}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/68edd90a3cdb61b9d8113187f23a5f55ea633b68)
![{\displaystyle ==k\pi +[t*\log(1+tk)-1/k*t+1/k^{2}*\log(1+kt)]_{0}^{\pi }}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/2ebe39edc3073da4256318fb109fd78129b5d232)

con
