Equazioni differenziali di ordine n

Richiami teorici[modifica | modifica wikitesto]

Considero un'equazione omogenea della forma:

alla quale posso associare il polinomio

Zeri reali
Supponiamo che risolva l'equazione caratteristica con molteplicità , allora soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione 1 sono date da
Zeri complessi
Se è una coppia di soluzioni caratteristiche con una molteplicità , allora soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione differenziale sono date da:
Consideriamo ora invece un'equazione non omogenea della forma:
Per risolvere quest'equazione si usa il metodo di variazione delle costanti.

Supponiamo di avere soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata all'equazione 2. Allora definisco il determinante Wromksiano

Definisco la matrice:
allora
e questo vale nell'ipotesi che la funzione sia definita in 0, altrimenti al posto di 0 si mette nel dominio di .

Non è sempre necessario ricorrere al metodo delle costanti arbitrarie. Supponiamo di avere:

con polinomi di grado al più .
Una soluzione particolare dell'equazione 2 si trova nella forma:
dove è la molteplicità di come soluzione dell'equazione omogenea.
sono polinomi dello stesso grado di e si determinano sostituendo quest'espressione della soluzione nell'equazione differenziale di partenza.

Esercizio 4.16

Determinare l'integrale generale delle seguenti equazioni omogenee a coefficienti costanti.

 

  1. Scrivo l'equazione caratteristica associata:
  2. Cerco le radici del polinomio. Le radici razionali si trovano tra i divisori del termine noto, e le possibilità sono quindi .
    Non cerco altre radici perché un polinomio di grado 3 ha al più tre radici. Allora e sono radici di molteplicità 1.
  3. Scrivo l'integrale generale è:
Esercizio 4.17

Determinare l'integrale generale dell'equazione:

 

L'equazione caratteristica associata è

allora le soluzioni sono con molteplicità 3 e con molteplicità 1.
L'integrale generale si scrive come:

Esercizio 4.18

Determinare l'integrale generale delle seguenti equazioni non omogenee:

 

L'equazione omogenea è già stata studiata, vogliamo quindi calcolare una soluzione particolare. Vogliamo verificare se si può evitare il metodo di variazione delle costanti, e quindi se si può scrivere come somma di funzioni del tipo 4 (somme di polinomi per seni e coseni). Allora scrivo:

con funzioni del tipo 4. Trovo una soluzione di:
e una soluzione di
allora per linearità è soluzione dell'equazione differenziale.
Mi chiedo se è uguale a
Per risolvere l'equazione:
Pongo , in modo che e , inoltre (polinomio di grado 0) e .
Allora
e non è soluzione dell'equazione caratteristica, e ha quindi molteplicità nulla. La soluzione è del tipo:
e pongo la costante .
Analogamente, può essere scritta nella forma desiderata se pongo , allora risolvo:
e quest'equazione è soddisfatta per e .

Allora applico il metodo precedente:

che è soluzione dell'equazione caratteristica con molteplicità . Una soluzione particolare dell'equazione
è del tipo con polinomio di grado .

Allora:

per un'opportuna scelta di .
Faccio le derivate e sostituisco nell'equazione differenziale, in modo da ricavare un'espressione per e :
Sostituisco in:
e ottengo:
Allora una soluzione particolare è della forma:
e l'integrale generale si ottiene sommando a questo risultato un integrale generale dell'equazione omogenea.

Esercizio 4.19

Determinare l'integrale generale dell'equazione:

 
  1. La soluzione generale dell'equazione omogenea è:
  2. Verifico se
    Pongo e .
  3. . è soluzione dell'equazione omogenea con molteplicità 3, quindi:
    e con polinomio di grado 1 che si può scrivere come . Quindi:
  4. Le derivate di sono
  5. Sostituisco le derivate nell'equazione:
  6. La soluzione particolare è:
  7. L'integrale generale è


Esercizio 4.20

Utilizzando il metodo di variazione delle costanti si scriva l'integrale generale dell'equazione

con numero reale positivo e funzione continua. Si determini un integrale particolare nel caso e .

 

Consideriamo l'equazione caratteristica associata all'omogenea:

Allora il polinomio ha come radici due numeri complessi coniugati della forma cn e . L'integrale generale dell'equazione omogenea è dato da:
e quindi
con .

Pongo:

Calcolo il determinante wronskiano:
Nel caso particolare , si ha:
Uso la linearità dell'integrale:
Pongo .
Pongo , .
Allora una soluzione particolare dell'equazione è:

Esercizio 4.21

Consideriamo l'equazione:

con costante reale, e numeri reali positivi. Si chiede di scriverne l'integrale generale.

 

L'equazione omogenea si risolve come prima:

e ha due soluzioni complesse. L'integrale generale è quindi:
Cerco ora l'integrale particolare: non ricorro al metodo di variazione delle costanti e cerco i valori di che soddisfano l'equazione:
Pongo , , , , alloa la disuguaglianza è verificata.
Consideriamo:

  1. Se , allora non è soluzione dell'equazione omogenea e ha quindi molteplicità 0. Allora una soluzione particolare è data da:
    con polinomi di grado 0 che indico con .
    e sostituendo nell'equazione ottengo:
    Quindi , L'integrale generale dell'equazione del pendolo con , è
    Ho una somma di funzioni periodiche con periodo determinato da . Allora il pendolo ha una sua oscillazione propria mentre la forzante ha un periodo diverso.
  2. Nel caso in cui si osserva il fenomeno della risonanza: la frequenza propria del pendolo coincide con la frequenza della forzante che stiamo applicando.Le soluzioni:
    sono anche soluzioni dell'equazione omogenea con molteplicità 1.Quindi una soluzione particolare dell'equazione completa è:
    quindi ,L'integrale generale è:
    con numeri reali. Scelgo e ottengo:
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