Richiami teorici

  1. Si dice che è derivabile parzialmente rispetto alla variabile se esiste
    e tale limite viene detto derivata parziale di in .
  2. Scelto un versore , se esiste
    allora è derivabile lungo la direzione nel punto e il limite si chiama derivata direzionale di rispetto alla direzione .
  3. Se ha tutte le derivate parziali e direzionali in un punto , non è detto che sia continua in quel punto.
  4. Si dice che una funzione è differenziabile se:
  5. Per verificare se una funzione è differenziabile si verifica che:
    tende a 0.
  6. Se è differenziabile in allora è continua in , ha tutte le derivate direzionali nel punto e la derivata della funzione rispetto alla direzione è pari a:
  7. Se è continua in , se è derivabile in e se le derivate parziali sono continue in , allora è differenziabile in .
  8. Tutte le funzioni elementari sono differenziabili, dove sono definite.
  9. Dati un vettore e un punto , se indico con la derivata direzionale rispetto a , vale la formula del gradiente:
  10. Regola della catena: Consideriamo , sia . Sia e supponiamo che sia differenziabile in . Allora la jacobiana di in è la matrice che ha come righe i gradienti delle componenti di . Supponiamo che e , allora è ben definita la funzione composta:
    in un intorno del punto , e vale la relazione:
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