Differenziabilità di funzioni generiche

Esercizio 2.9

Sia Stabilire per quali punti di la funzione è continua, derivabile, differebziabile.

 
Continuità
La funzione è continua su tutto perché somma, prodotto e composizione di funzioni continue.
Derivabilità
Se , è differenziabile nel punto .

Potrebbero esserci problemi nei punti con . Applichiamo la definizione di derivata parziale. Prendo il punto del tipo e mi chiedo per quali punti di questa forma esiste il limite del rapporto incrementale.

il rapporto incrementale vale sempre 0, e quindi
e questo significa che i limiti destro e sinistro della funzione non coincidono, a meno che .

Allora è definita e vale 0 in tutti i punti della forma tali che , cioè . Se invece la derivata parziale rispetto a non è definita.

Calcolo le derivate parziali nel generico punto :

Differenziabilità
Se , la funzione è differenziabile, perché è somma e prodotto di funzioni differenziabili. Verifichiamo se è differenziabile nei punti della forma con . Nei punti in cui non è differenziabile perché non esistono nemmeno le sue derivate.
mentre
è una quantità limitata, mentre tende a 0, quindi il limite tende a 0 e la funzione è differenziabile nei punti della forma con .
Esercizio 2.10

Sia definita come

Si discutano la continuità, la derivabilità parziale e la differenziabiità di .

 

Verifico la continuità della funzione, cioè verifico che:

allora è continua nell'origine.
Verifico l'esistenza delle derivate parziali nell'origine:
Verifico la differenziabilità di nell'origine, e studio il limite:
Osservo che non è differenziabile nell'origine, infatti, ad esempio, lungo la curva si ha:
Calcolo le derivate parziali in un generico punto :

Esercizio 2.11

Considero la funzione

  1. Si dimostri che è continua in
  2. Si stabilisca se è differenziabile in
 

Continuità: verifico che

Passare immediatamente alle coordinate polari non porta a nessun risultato, infatti si avrebbe:
Al denominatore ho termini di grado diverso, non si riesce a dimostrare che uniformemente in questa quantità tende a 0.
In generale, quando al denominatore ho quantità di gradi diversi, si utilizza il seguente metodo per fare in modo che i termini abbiano lo stesso grado: nel limite di partenza pongo e e scelgo e in modo che . In questo caso posso scegliere e . Devo scrivere e in modo che cambino segno in un intorno di , quindi pongo e .
Ora che al denominatore ho termini dello stesso grado posso passare alle coordinate polari:
Osservo che
perché è una somma di funzioni continue e positive, che non si annullano mai simultaneamente, e il minimo esiste per il teorema di Weierstrass. Il limite da calcolare è minore di uniformemente in , e la continuità è verificata.

Esistenza delle derivate parziali nell'origine:

perché per come è definita, e .

Allora ha derivate parziali nulle nel punto .
Differenziabilità: calcolo il limite
Questo limite non esiste, perché se considero la curva , ottengo:
Quindi la funzione è continua ma non differenziabile in .

Esercizio 2.12

Sia data la funzione

Verificare che non è differenziabile in e calcolare le derivate direzionali di in .

 

Differenziabilità: Voglio verificare che:

Verifico prima se esistono
Allora le derivate parziali in esistono e sono nulle.
Verifico la differenziabilità di .
Osservo che, lungo la curva , il limite non vale 0, infatti
allora non è differenziabile.
Derivate direzionali: verifico se esiste la derivata direzionale lungo un generico vettore e quindi calcolo il limite del rapporto incrementale:
e il valore ottenuto, dipendente da e dalla direzione scelta è la derivata direzionale di nel versore .

Esercizio 2.13

Sia

Verificare che:

  1. è continua in
  2. è derivabile in ogni direzione nel punto
  3. vale la formula del gradiente.
  4. non è differenziabile in
 

La differenziabilità di è condizione sufficiente per i punti 1, 2 e 3, ma non necessaria.

Continuità: verifico che

e il limite vale 0 per il teorema del confronto.
Derivate direzionali: considero un versore in , con .
Il limite vale 0 per e , perché l'infinito di ordine esponenziale al denominatore prevale sul denominatore di ordine lineare.
Per sta sull'asse y e la derivata è nulla.

Formula del gradiente: In particolare vale la formula del gradiente, perché per ogni

allora
quindi la derivata direzionale della funzione in direzione coincide con il gradiente moltiplicato scalarmente per .
Non differenziabilità: Dimostriamo che
Sulla curva si ha
e quindi la funzione non è differenziabile.
Questo esercizio mostra un esempio di funzione continua e con tutte le derivate parziali, ma non è differenziabile.

Esercizio 2.14

Si discutano la continuità e la differenziabilità nel punto della funzione definita come

Inoltre, per ogni versore di , si calcolino (se esistono) le derivate secondo la direzione di nel punto .

 

Continuità:

e la funzione è continua infatti in coordinate polari si ottiene:
Differenziabilità:
Allora per verificare la differenziabilità di nell'origine calcolo:
e la funzione non è differenziabile infatti lungo la curva il limite vale e non 0.

Derivate direzionali: Per un versore
allora
Esercizio 2.15

Si discutano la continuità, la derivabilità direzionale e la differenziabilità delle seguenti funzioni.

 
  1. Continuità: Studio la continuità sui semiassi positivi di ascisse e ordinate.
    allora la funzione è continua su tutto .Derivabilità direzionale:
    allora le derivate direzionali nell'origine esistono e valgono 0.Differenziabilità:
    Passo alle coordinate polari:
    e la funzione è differenziabile perché in coordinate polari il limite tende a 0 uniformemente in .
  2. Continuità:
    Passando a coordinate polari:
    allora la funzione è continua nell'origine.Derivabilità direzionale:
    allora la derivata direzionale nell'origine esiste e vale .Differenziabilità: Verifico se esistono le derivate parziali.
    Allora le derivate parziali esistono.
    Osservo che, lungo la curva , si ha:
    allora il limite non tende a 0 e la funzione non è differenziabile nell'origine.
  3. Continuità: Verifico se
    Considero la curva .
    e quindi il limite non tende a 0, e la funzione non è continua nell'origine. Segue che la funzione non è nemmeno differenziabile nell'origine, perché la continuità è una condizione necessaria per la differenziabilità.Derivate direzionali: fissato il generico vettore :
    quindi
    Quindi rimane
    e il limite di partenza vale 0, quindi le derivate direzionali nell'origine valgono 0.
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