Differenziabilità di funzioni dipendenti da un parametro

Esercizio 2.16

Sia

Discutere la differenziabilità di nel punto al variare di .

 

Riscrivo la funzione come:

Verifico l'esistenza delle derivate parziali, condizione necessaria per la differenziabilità.
con .

Se , la potenza prevale sul logaritmo e il limite vale 0. Se , il limite tende a , e lo stesso vale se . Allora esiste e vale 0 se e solo se , quindi si può già affermare che se , non è differenziabile nell'origine. Inoltre

e come prima il limite vale se e se .

Concludo che sse , esistono entrambe le derivate parziali di nel punto . La funzione è differenziabile in se e solo se

Passiamo alle coordinate polari.
allora la funzione è differenziabile per .

Altro procedimento possibile: In alcuni casi è conveniente usare il teorema del differenziale totale, cioè si può dimostrare che le derivate parziali esistono nel punto e sono continue in un intorno del punto, e da questo segue la differenziabilità della funzione. Questa però non è una condizione necessaria per la differenziabilità.


Esercizio 2.17

Discutere per , continuità, derivabilità e differenziabilità della funzione

 

Continuità: La continuità di dipende dal valore di . Per la continuità si richiede che

Osservo subito che lungo le curve con questa condizione non è verificata perché il limite vale . Verifico per quali curve di questo tipo rientrano nell'insieme in cui la funzione è diversa da 0.

se e solo se

e per , la condizione è soddisfatta per , e quindi per : in quest'ultimo caso, sicuramente la funzione non è continua nell'origine.

Per , si ha:

Allora la funzione è continua nell'origine per .

Derivabilità: Dato un punto sull'asse , per ogni e per ogni , e questo implica che esiste e vale 0.

Qualsiasi punto con soddisfa l'equazione e la funzione vale , Vale 0 anche sui punti con , che si trovano nella regione di piano con dove la funzione è identicamente nulla, allora esiste anche e vale 0.

Differenziabilità: per ci si chiede se è differenziabile in . (se non è continua non è differenziabile, quindi non può essere differenziabile per )

Se calcolo il limite con il limite è 0.

Per

In questo limite non compare. Se allora
Cerco una curva lungo cui:
Una possibilità è con , infatti, lungo questa curva:
Per , la quantità tende a , e il limite non esiste.
Se i punti del tipo appartengono all'insieme in cui la funzione non è identicamente nulla, la funzione non è differenziabile. Questo avviene quando:
Cerco le soluzioni di quest'ultima disequazione.

Se la disequazione è soddisfatta in un intervallo della forma con , quindi per le curve considerate appartengono a .

  1. Se , ottengo la disuguaglianza che è sempre soddisfatta perché ho scelto , quindi posso ancora avvicinarmi all'origine lungo le curve per .
  2. Se ottengo un insieme di soluzioni del tipo quindi per la disequazione non è soddisfatta e le curve del tipo non rientrano nell'insieme , quindi non posso avvicinarmi all'origine lungo tali curve.

Si conclude quindi che e potrebbe essere differenziabile per , mentre non lo è per . Provo a calcolare il limite in un altro modo per :

e quindi è differenziabile per .

Esercizio 2.18

Discutere per , continuità, derivabilità, e differenziabilità nel punto della funzione:

 

Continuità: Stabilisco per quali valori di

Siccome il limite della somma è la somma dei limiti, e siccome , ottengo:
Passo alle coordinate polari:
e per :
Allora sicuramente è continua per .
Invece, se , posso avvicinarmi all'origine su una retta del tipo e ottengo:
Se , il limite vale , se il limite è . Quindi la funzione non è continua nell'origine per .
Derivabilità: Osservo che , allora . Invece quindi e questo è vero .

Verifico la differenziabilità per ,

In coordinate polari:
Uniformemente in
e per il limite tende a 0 e è differenziabile.

Per , si cerca una direzione lungo la quale il limite non vale 0. Consideriamo nuovamente la curva , lungo cui si ha:

Siccome , il limite non tende a 0, e la funzione non è differenziabile per .

Esercizio 2.19

Per ogni si consideri la funzione

Si discutano la continuità e la differenziabilità di al variare di .

 

Continuità: Studio la continuità sulla bisettrice

Per il numeratore tende a 0, e il limite fa 1, la funzione è continua su . Per il limite tende a e la funzione non è continua.
Sulla bisettrice
infatti la quantità al numeratore è limitata mentre . Allora la funzione non è continua sulla bisettrice tranne l'origine.
Verifichiamo la continuità nell'origine.
La funzione è continua per , perché il numeratore tende a 0 più rapidamente del denominatore e il limite fa 1, mentre per tende a .

Riassumendo, è continua per sulla bisettrice e nell'origine.

Derivabilità: verifico l'esistenza delle derivate parziali sulla bisettrice

e la derivata parziale rispetto a esiste per i punti sulla bisettrice e per . Invece nell'origine:
per simmetria dei ruoli di x e y nella funzione.
Differenziabilità nell'origine:
In coordinate polari:
e il limite tende a 0 uniformemente in per , quindi per la funzione è sicuramente differenziabile nell'origine.
Per :
e il limite non tende a 0, infatti sulla curva si ha
allora la funzione non è differenziabile per e nemmeno per .

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