Parametrizzazione di curve

Esercizio 5.8

Descrivere la curva:

e calcolarne la lunghezza.

 

Descrizione della curva: Cerco una parametrizzazione del sostegno della curva. Osservo che, se anche , , , cioè la curva è simmetrica rispetto agli assi e rispetto alle bisettrici. Basta quindi studiare la curva in un quadrante. Nel quadrante la curva è descritta dall'l'equazione:

Esplicito la in funzione della :
e siccome il primo membro è positivo si ha .
Elevando a :
Quindi la funzione è continua nell'intervallo chiuso , inoltre si ha:
Siccome per la derivata è negativa, è decrescente.
e quindi la curva passa per i punti e .
Studiando la derivata seconda si può dimostrare anche che la curva è convessa.
Lunghezza della curva: Per simmetria, la lunghezza della curva è pari a quattro volte la lunghezza di , quindi calcolo:
Equazioni parametriche di :
Quindi

Esercizio 5.9

Si calcoli la lunghezza della curva di sostegno

 

Questa curva è una curva cartesiana che si può riscrivere come:

Quindi
Calcolo l'integrale:

Esercizio 5.10

Parametrizzare l'ellisse definita come:

 

Questa è un'ellisse con semiasse maggiore , semiasse minore . Possiamo parametrizzare l'ellisse partendo da in senso antiorario o in senso orario, e si avranno due parametrizzazioni distinte.

Pongo:

Dalla prima equazione ricavo , cioè , . Analogamente .

Parametrizzazione in senso antiorario: , ma supponiamo per periodicità . Inoltre si ha:
e questa è la parametrizzazione in senso antiorario, infatti si ha:
Parametrizzazione in senso orario:
Esercizio 5.11

Calcolare l'integrale

dove

 

La curva è l'intersezione di due superfici: una sfera e un piano.

Dalla seconda equazione ricavo , e sostituendo nella prima equazione:

Uso il metodo del completamento dei quadrati per far comparire l'equazione di un'ellisse:
e ci si riconduce all'esercizio precedente con , e .
Siccome si ha .
Si ottiene la parametrizzazione:
e imponendo la condizione si ha e quindi .
Allora:

Esercizio 5.12

Sia una curva tale che:

con estremi e . Calcolare la lunghezza della curva.

 

Per trovare una parametrizzazione della curva devo risolvere il sistema:

Dalla seconda equazione ricavo , e sostituendo nella prima:
Se , l'equazione è soddisfatta per ogni e di conseguenza si ottiene .

Allora la retta di equazioni soddisfa l'equazione definitoria di . Suppongo invece , allora possiamo dividere l'equazione per e si ottiene: . Risostituendo nell'espressione di si ha:

e quindi, per la curva ha la parametrizzazione:
Si nota subito che è crescente per , e che gli estremi della curva e sono minori di 1. Quindi, se allora , ed è immediato verificare che:
Quindi se considero la parametrizzazione con che varia tra gli estremi, ho il sostegno della curva parametrizzata da mentre non viene coinvolta. In conclusione:
Per calcolare la lunghezza, si ha:
Integro per parti:
e aggiungendo e togliendo :
e tenendo conto del fatto che si ha:
ed eguagliando al primo membro:
e l'integrale al secondo membro è uguale al settore coseno iperbolico:
Si risostituisce poi quest'espressione in e la si valuta tra gli estremi e .

Esercizio 5.13

Calcolare:

dove
con proiezione sul piano che è una curva semplice orientata in senso orario.

 

Si richiede che la circonferenza sia percorsa una sola volta in senso orario, quindi le equazioni parametriche sono:

Inoltre
Integro per parti :
ed eguagliando al primo membro:
e sostituendo la primitiva trovata in :

Osservazione 5.2

Data una curva in coordinate polari della forma si ricorda che

allora per scrivere le equazioni parametriche in coordinate cartesiane sostituiamo a e ottengo:
dove è il parametro della curva.

 
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