Trasformata di Fourier di una distribuzione

Nel definire la trasformata di Fourier per una distribuzione, si potrebbe essere tentati dal seguire la definizione di derivata di una funzione e assumere che data una certa distribuzione la sua trasformata di Fourier possa essere definita come:

In realtà questa definizione presenta un problema di fondo. Infatti se , non si avrà che pure , perchè una funzione olomorfa non potrà essere . La definizione di trasformata di Fourier di una distribuzione necessita dunque alcune accortezze. Prendendo come classe di funzioni test delle funzioni di classe Schwarz, si ovvia a questo problema. Chiaramente una scelta di questo tipo vincola lo spazio delle distribuzioni, che non potrà più essere tutto ma sarà uno spazio più piccolo, detto delle distribuzioni temperate. Quindi, a patto di prendere funzioni test di classe Schwarz e distribuzioni temperate è possibile definire la trasformata di Fourier in questo caso:

Definizione (Trasformata di Fourier di una distribuzione)

Sia una distribuzione temperata e sia una funzione di test. Allora la trasformata di Fourier di si definisce come segue:

 


Ad esempio, per la delta di Dirac:

Esempio (Trasformata di Fourier della delta di Dirac)

Sia . Applicando la definizione appena data si ha:

Quindi, la trasformata di Fourier di una delta di Dirac è una costante:

 
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