Soluzioni fondamentali e distribuzioni

Si è visto che le soluzioni fondamentali dell'equazione di Laplace e dell'equazione del calore possono essere scritte nella forma:

Vogliamo chiederci quale sia il significato degli operatori laplaciano e , ovvero gli operatori che definiscono le equazioni di cui le funzioni appena scritte sono soluzioni fondamentali, in teoria delle distribuzioni.

Iniziamo considerando il caso di . , dunque è possibile associarle la distribuzione :

Ora, su si vuole studiare l'azione di :
Si conclude quindi che, in teoria delle distribuzioni, l'azione dell'operatore laplaciano su una sua soluzione fondamentale corrisponde ad una distribuzione singolare: la delta di Dirac. Ovvero:
Chiaramente varrà la stessa proprietà anche nel caso in cui si consideri :

Si consideri ora il caso dell'equazione del calore:

Con . Definiamo come:
Essa è detta soluzione fondamentale dell'equazione del calore perchè si ha la possibilità di scrivere:
Ci si chiede quale sia il significato di in teoria delle distribuzioni. In analogia con il caso dell'equazione di Laplace è lecito aspettarsi che .

Dimostrazione

è localmente integrabile, dunque:

Dunque:
Integrando per parti:
Effettuando la sostituzione
Rimane quindi provato che:

 


Si osserva inoltre che:

Si ha che la soluzione fondamentale soddisfa l'equazione del calore con dato inziale .

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