La delta di Dirac

Vi sono alcune distribuzioni che non sono della forma $T_{f}$$T_f$ vista nei capitoli precedenti. Distribuzioni di questo tipo prendono il nome di distribuzioni singolari. In questo e nel prossimo capitolo ci occuperemo di due importanti distribuzioni singolari: la delta di Dirac e il valor principale.

Si consideri $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ aperto e $x_{0}\in \Omega$$x_0\in \Omega$. Si definisce delta di Dirac la distribuzione

$$\delta _{x_{0}}(\phi )=\phi (x_{0})\;\forall \,\phi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$$

$$\delta_{x_0}(\phi)=\phi(x_0)\;\forall\,\phi\in C^{\infty}_0(\Omega)$$

È chiaro che essa sia un funzionale lineare, infatti:

$$\forall \,\phi _{1},\phi _{2}\in C_{0}^{\infty }(\Omega );\;\delta _{x_{0}}(\phi _{1}+\phi _{2})=(\phi _{1}+\phi _{2})(x_{0})=\phi _{1}(x_{0})+\phi _{2}(x_{0})$$

$$\forall\,\phi_1,\phi_2\in C^{\infty}_0(\Omega);\;\delta_{x_0}(\phi_1+\phi_2)=(\phi_1+\phi_2)(x_0)=\phi_1(x_0)+\phi_2(x_0)$$

$$\forall \phi \in {\mathcal {D}},\,\forall \,c\in \mathbb {R} ;\;\delta _{x_{0}}(c\phi )=c\phi (x_{0})$$

$$\forall \phi\in \mathcal{D},\,\forall\,c\in \mathbb{R};\;\delta_{x_0}(c\phi)=c\phi(x_0)$$

Tuttavia è evidente che questa distribuzione non è del tipo $T_{f}$$T_f$ introdotte nei capitoli precedenti. Ci si chiede se sia possibile legare $\delta$$\delta$ a distribuzioni regolari. Per poter rispondere a questa domanda si consideri il seguente teorema:

Teorema (1)

Sia $\left\lbrace T_{n}\right\rbrace$$\left\lbrace T_n\right\rbrace$ una succesione di distribuzioni in ${\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )$$\mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$ e sia $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )$$T\in \mathcal{D}^{\prime}(\Omega)$. Se $T_{n}(\phi )\rightarrow T(\phi ),\,\forall \,\phi \in {\mathcal {D}}(\Omega )$$T_n(\phi)\rightarrow T(\phi),\,\forall\,\phi\in \mathcal{D}(\Omega)$, allora:

$$T_{n}{\underset {{\mathcal {D}}^{\prime }}{\rightarrow }}T$$

$$T_n\underset{\mathcal{D}^{\prime}}{\rightarrow}T$$

 

In virtù del teorema appena enunciato è possibile concludere che in alcuni casi è possibile definire distribuzioni singolari come limite di distribuzioni regolari, cosa che si può fare anche per la $\delta$$\delta$ di Dirac.

Si consideri $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\;f\geq 0$$f\in L^1(\mathbb{R}^n),\; f\geq 0$. Si consideri poi $f_{s}$$f_s$ definita come:

$$f_{s}(x)={\frac {1}{s^{n}}}f\left({\frac {x}{s}}\right)$$

$$f_s(x)=\frac{1}{s^n}f\left(\frac{x}{s}\right)$$

Si assuma poi che $\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)dx=1$$\int_{\mathbb{R}^n}f(x)dx=1$, ad esempio $f(x)=ce^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$$f(x)=ce^{-\frac{x^2}{2}}$. Sicuramente $f_{s}(x)$$f_s(x)$ soddisfa le seguenti proprietà:

• $\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{s}(x)dx=1$$\int_{\mathbb{R}^n}f_s(x)dx=1$

• $\lim _{s\rightarrow 0}\int _{\mid x\mid <R}f_{s}(x)dx=1$$\lim_{s\rightarrow 0}\int_{\mid x\mid < R}f_s(x)dx=1$

• $\lim _{s\rightarrow 0}\int _{\mid x\mid >R}f_{s}(x)dx=0$$\lim_{s\rightarrow 0}\int_{\mid x\mid >R}f_s(x)dx=0$

Per come è definita $f_{s}$$f_s$ è certamente possibile associarle una distribuzione regolare; sia essa $T_{f_{s}}$$T_{f_s}$:

$$T_{f_{s}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{s}(x)\phi (x)dx$$

$$T_{f_s}=\int_{\mathbb{R}^n}f_s(x)\phi(x)dx$$

Si può provare che una distribuzione siffatta soddisfa le ipotesi del teorema precedente e può essere utilizzata per approssimare una delta di Dirac. Più precisamente, vale il seguente teorema:

Teorema (2)

Sia $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$$f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ e sia $f_{s}(x)={\frac {1}{s^{n}}}f\left({\frac {x}{s}}\right)$$f_s(x)=\frac{1}{s^n}f\left(\frac{x}{s}\right)$. Sia $T_{f_{s}}$$T_{f_s}$ la distribuzione regolare associata a $f_{s}$$f_s$, allora si ha che:

$$T_{f_{s}}{\underset {s\rightarrow 0}{\rightarrow }}\delta _{0}(\phi )$$

$$T_{f_s}\underset{s\rightarrow 0}{\rightarrow}\delta_0(\phi)$$

 

Dimostrazione

Sia $\phi \in {\mathcal {D}}$$\phi\in \mathcal{D}$. Si vuole provare che $T_{f_{s}}(\phi (x)-\phi (0)){\underset {s\rightarrow 0}{\rightarrow }}0$$T_{f_s}(\phi(x)-\phi(0))\underset{s\rightarrow 0}{\rightarrow}0$. Si ha:

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{s}(x)\left(\phi (x)-\phi (0)\right)dx=\int _{\mid x\mid \leq R}f_{s}(x)\left(\phi (x)-\phi (0)\right)dx+\int _{\mid x\mid >R}f_{s}(x)\left(\phi (x)-\phi (0)\right)$$

$$\int_{\mathbb{R}^n}f_s(x)\left(\phi(x)-\phi(0)\right)dx=\int_{\mid x\mid \leq R}f_s(x)\left(\phi(x)-\phi(0)\right)dx+\int_{\mid x\mid > R}f_s(x)\left(\phi(x)-\phi(0)\right)$$

Per le proprietà di $\phi$$\phi$ si ha che:

• $\phi (x)-\phi (0)$$\phi(x)-\phi(0)$ è limitata su $\mathbb {R} ^{n}$${\mathbb {R}}^{n}$ da $M$$M$

• Sia $N(R)=\sum _{\mid x\mid \leq R}\mid \phi (x)-\phi (0)\mid$$N(R)=\sum_{\mid x\mid \leq R}\mid \phi(x)-\phi(0)\mid$, e $N(R){\underset {R\rightarrow +\infty }{\rightarrow }}0$$N(R)\underset{R\rightarrow +\infty}{\rightarrow}0$

Si può dunque scrivere una disuguaglianza per $T_{f_{s}}(\phi (x)-\phi (0))$$T_{f_s}(\phi(x)-\phi(0))$:

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{s}(x)\left(\phi (x)-\phi (0)\right)dx\leq N(R)+M\int _{\mid x\mid >R}f_{s}(x)dx$$

$$\int_{\mathbb{R}^n}f_s(x)\left(\phi(x)-\phi(0)\right)dx\leq N(R)+M\int_{\mid x\mid >R}f_s(x)dx$$

Data l'arbitrarietà di $N(R)$$N(R)$ lo si sceglie in modo tale che $N(R)<{\frac {\epsilon }{2}}$$N(R)<\frac{\epsilon}{2}$. Inoltre si prende $s$$s$ tale che $\int _{\mid x\mid >R}f_{s}(x)dx<{\frac {\epsilon }{2M}}$$\int_{\mid x\mid >R}f_s(x)dx<\frac{\epsilon}{2M}$. Fatte queste scelte la disuguaglianza scritta sopra diventa:

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{s}(x)\left(\phi (x)-\phi (0)\right)dx\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$$

$$\int_{\mathbb{R}^n}f_s(x)\left(\phi(x)-\phi(0)\right)dx\leq \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$

Dalla definizione di limite segue che $\forall \,\phi \in {\mathcal {D}}$$\forall\,\phi\in \mathcal{D}$:

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{s}(x)\phi (x)dx{\underset {s\rightarrow 0}{\rightarrow }}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{s}(x)\phi (0)dx=\phi (0)=\delta _{0}(\phi )$$

$$\int_{\mathbb{R}^n}f_s(x)\phi(x)dx\underset{s\rightarrow 0}{\rightarrow}\int_{\mathbb{R}^n}f_s(x)\phi(0)dx=\phi(0)=\delta_0(\phi)$$

In definitiva si ha che:

$$T_{f_{s}}(\phi ){\underset {s\rightarrow 0}{\rightarrow }}\delta _{0}(\phi )\;\forall \,\phi \in {\mathcal {D}}$$

$$T_{f_s}(\phi)\underset{s\rightarrow 0}{\rightarrow}\delta_0(\phi)\;\forall\,\phi\in\mathcal{D}$$

 

Chiaramente, seguendo la strategia appena usata, è anche possibile dimostrare che:

$${\frac {1}{s^{n}}}f\left({\frac {x-x_{0}}{d}}\right){\underset {s\rightarrow 0}{\rightarrow }}\delta _{x_{0}}(\phi )$$

$$\frac{1}{s^n}f\left(\frac{x-x_0}{d}\right)\underset{s\rightarrow 0}{\rightarrow}\delta_{x_0}(\phi)$$

Nei prossimi capitoli vedremo come diverse proprietà delle distribuzioni regolari si riportano nel caso di distribuzioni singolari come la delta di Dirac. Prima di proseguire si tenga presente anche la seguente osservazione:

Osservazione (3)

La distribuzione di Dirac ha per supporto $\left\lbrace x_{0}\right\rbrace$$\left\lbrace x_0\right\rbrace$. Si osserverà anche che la classe delle distribuzioni con supporto $\left\lbrace x_{0}\right\rbrace$$\left\lbrace x_0\right\rbrace$ è data da una combinazione lineare della $\delta$$\delta$ di Dirac e di tutte le sue derivate.