Introduzione

Nei capitoli precedenti abbiamo studiato problemi al bordo, cercando di determinare le soluzioni degli stessi. Più precisamente, si era interessati a trovare soluzioni classiche per le equazioni studiate. È importante osservare che però vi sono dei casi in cui ciò non è possibile, ovvero si possono trovare funzioni particolari che soddisfano le richieste dei problemi analizzati: per questo è necessario introdurre il concetto di distribuzione.

Si ricordi, ad esempio, che il teorema di D'Alembert afferma che la soluzione per l'equazione delle onde ha forma:

Si nota che però, specie nel caso in cui , anche la somma di due funzioni a gradino coincide analiticamente con l'espressione appena data per la soluzione dell'equazione delle onde, ma non sarà soluzione; ovvero, date funzioni a gradino non è soluzione dell'equazione delle onde.

Problemi simili si hanno quando si cercano le soluzioni armoniche di in . Infatti, presa l'equazione:

Non può essere risolta su ma dovrà essere studiata su .

Vediamo quindi che la risoluzione di problemi al bordo talvolta porta a dei problemi, per cui è necessario definire il concetto di distribuzione per cercare di ovviare a questi ed essere in grado di risolvere in maniera completa l'equazione studiata. Iniziamo enunciando il seguente lemma

Lemma (Fondamentale del calcolo delle variazioni)

Sia aperto. Sia , ovvero integrabile sui compatti di . Allora è nulla quasi ovunque in se e solo se

 


Il lemma appena enunciato è estremamente importante perchè ci consente, nella sua forma più generale di concludere l'uguaglianza (quasi ovunque) di due funzioni semplicemente sfruttando il fatto che il loro integrale contro una funzione test è nullo, senza doverle confrontare puntualmente. Più preciasamente vale la seguente osservazione:


Osservazione

Siano . Se

Allora quasi ovunque in .

 


Come già accennato sopra la funzione che si usa per definire gli integrali di sopra è detta funzione test. Il risultato dell'osservazione appena fatta inoltre suggerisce che ad ogni funzione integrabile su compatti si può associare un oggetto, che chiameremo definito dall'integrale di contro una funzione di test :

Dato che è uno spazio vettoriale, si ha che , , ovvero appartiene al duale algebrico di . Nel prossimo capitolo vedremo più nel dettaglio che l'oggetto appena definito in realtà è un funzionale lineare ed è ciò che chiamiamo distribuzione. Daremo inoltre una caratterizzazione più dettagliata delle proprietà di una distribuzione.

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