In questo capitolo ci occuperemo di un'altra distribuzione singolare: il valor principale . Si consideri
,
. Si definisce valore principale di
la quantità

Quella appena usata non è l'unica rappresentazione del valor principale, infatti se si considera

con supporto
![\left[-r,r\right]](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/b7a39448a1ef195b3beccc692f50b8aef0391278)
si ha:
![{\displaystyle \int_{\mid x\mid >\epsilon}\frac{\psi(x)}{x}dx=\int_{\epsilon}^{r}\frac{\psi(x)-\psi(-x)}{x}dx\leq 2r\sup_{x\in\left[-r,r\right]}\mid\phi^{\prime}(x)\mid<+\infty}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/f7dbb7ab34563d08c897d9070a17ea851212725f)
Segue che

è limitato in

. Si può concludere che:

La distribuzione di Dirac e il valor principale rientrano nella determinazione di quella che si chiama formula di Plemelj-Sochozki:
Esempio (1 Formula di Plemelj-Sochozki)
Si calcoli

La funzione integrata contro

è definita in campo complesso, pertanto la si riscrive distinguendo parte reale e immaginaria:

Per la parte immaginaria si ha che:

Detta

quella che si ottiene altro non è che una rappresentazione della delta di Dirac:

Per la parte regolare occorre calcolare

Si osserva che l'integranda è una distrinuzione regolare della forma

. Definiamo

, distribuzione regolare dispari. Moltiplicando e dividendo per

, l'integrale che definisce la parte reale della funzione di cui stiamo calcolando il limite si può riscrivere come:

Volendo passare al limite sotto il segno di integrale è necessario considerare il problema della convergenza dominata. In realtà si osserva che esiste una maggiorante integrabile per l'integranda:

Dunque

è la maggiornate integrabile che permette di concludere che vi è convergenza dominata e quindi che le operazioni di limite e di integrale possono essere scambiate, quindi:

Così da poter concludere la
formula di Plemelj-Sochozki:

L'esempio appena studiato ci ha permesso anche di determinare un'altra espressione per il valore di
, infatti si è arrivati a:
