Il valor principale

In questo capitolo ci occuperemo di un'altra distribuzione singolare: il valor principale . Si consideri $f=\mathbb {R} \setminus \left\lbrace 0\right\rbrace \rightarrow \mathbb {R}$$f=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace 0\right\rbrace\rightarrow\mathbb{R}$, $f(x)={\frac {1}{x}}$$f(x)=\frac{1}{x}$. Si definisce valore principale di ${\frac {1}{x}}$$\frac{1}{x}$ la quantità

$$P_{\frac {1}{x}}(\phi )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mid x\mid >\epsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}dx$$

$$P_{\frac{1}{x}}(\phi)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}\int_{\mid x\mid >\epsilon}\frac{\phi(x)}{x}dx$$

Quella appena usata non è l'unica rappresentazione del valor principale, infatti se si considera $\phi$$\phi$ con supporto $\left[-r,r\right]$$\left[-r,r\right]$ si ha:

$$\int _{\mid x\mid >\epsilon }{\frac {\psi (x)}{x}}dx=\int _{\epsilon }^{r}{\frac {\psi (x)-\psi (-x)}{x}}dx\leq 2r\sup _{x\in \left[-r,r\right]}\mid \phi ^{\prime }(x)\mid <+\infty$$

$$\int_{\mid x\mid >\epsilon}\frac{\psi(x)}{x}dx=\int_{\epsilon}^{r}\frac{\psi(x)-\psi(-x)}{x}dx\leq 2r\sup_{x\in\left[-r,r\right]}\mid\phi^{\prime}(x)\mid<+\infty$$

Segue che $\int _{\epsilon }^{r}{\frac {\phi (x)-\phi (-x)}{x}}dx$$\int_{\epsilon}^{r}\frac{\phi(x)-\phi(-x)}{x}dx$ è limitato in $\epsilon$$\epsilon$. Si può concludere che:

$$P_{\frac {1}{x}}(\phi )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int _{\epsilon }^{r}{\frac {\phi (x)-\phi (-x)}{x}}dx$$

$$P_{\frac{1}{x}}(\phi)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{\epsilon}^{r}\frac{\phi(x)-\phi(-x)}{x}dx$$

La distribuzione di Dirac e il valor principale rientrano nella determinazione di quella che si chiama formula di Plemelj-Sochozki:

Esempio (1 Formula di Plemelj-Sochozki)

Si calcoli

$$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\phi (x)}{x\pm i\epsilon }}dx$$

$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}\int_{\mathbb{R}}\frac{\phi(x)}{x\pm i\epsilon}dx$$

La funzione integrata contro $\phi (x)$$\phi(x)$ è definita in campo complesso, pertanto la si riscrive distinguendo parte reale e immaginaria:

$${\frac {1}{x\pm i\epsilon }}={\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}\mp {\frac {i\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}$$

$$\frac{1}{x\pm i\epsilon}=\frac{x}{x^2+\epsilon^2}\mp\frac{i\epsilon}{x^2+\epsilon^2}$$

Per la parte immaginaria si ha che:

$${\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}={\frac {1}{\epsilon }}{\frac {1}{\left({\frac {x}{\epsilon }}\right)^{2}+1}}$$

$$\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}=\frac{1}{\epsilon}\frac{1}{\left(\frac{x}{\epsilon}\right)^2+1}$$

Detta ${\frac {x}{\epsilon }}=s$$\frac{x}{\epsilon}=s$ quella che si ottiene altro non è che una rappresentazione della delta di Dirac:

$$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }\mp {\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}=\pm i\pi \delta _{0}(\phi )$$

$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}\int_{\mathbb{R}}\mp\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}=\pm i\pi\delta_0(\phi)$$

Per la parte regolare occorre calcolare

$$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}\phi (x)dx$$

$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}\int_{\mathbb{R}}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}\phi(x)dx$$

Si osserva che l'integranda è una distrinuzione regolare della forma $T_{f}$$T_f$. Definiamo $h_{\epsilon }(x)={\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} )$$h_{\epsilon}(x)=\frac{x}{x^2+\epsilon^2} \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$, distribuzione regolare dispari. Moltiplicando e dividendo per $x$$x$, l'integrale che definisce la parte reale della funzione di cui stiamo calcolando il limite si può riscrivere come:

$$\int _{0}^{+\infty }xh_{\epsilon }(x){\frac {\left(\phi (x)-\phi (0)\right)}{x}}dx$$

$$\int_{0}^{+\infty}xh_{\epsilon}(x)\frac{\left(\phi(x)-\phi(0)\right)}{x}dx$$

Volendo passare al limite sotto il segno di integrale è necessario considerare il problema della convergenza dominata. In realtà si osserva che esiste una maggiorante integrabile per l'integranda:

$$\mid xh_{\epsilon }(x)\mid =\mid {\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}\mid \leq 1$$

$$\mid xh_{\epsilon}(x)\mid=\mid\frac{x}{x^2+\epsilon^2}\mid\leq 1$$

Dunque ${\frac {\phi (x)-\phi (-x)}{x}}$$\frac{\phi(x)-\phi(-x)}{x}$ è la maggiornate integrabile che permette di concludere che vi è convergenza dominata e quindi che le operazioni di limite e di integrale possono essere scambiate, quindi:

$$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}=P_{\frac {1}{x}}$$

$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}\int_{\mathbb{R}}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}=P_{\frac{1}{x}}$$

Così da poter concludere la formula di Plemelj-Sochozki:

$$\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {1}{x\pm i\epsilon }}dx=\mp i\pi \delta _{0}(\phi )+P_{\frac {1}{x}}$$

$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{x\pm i\epsilon}dx=\mp i\pi\delta_0(\phi)+P_{\frac{1}{x}}$$

 

L'esempio appena studiato ci ha permesso anche di determinare un'altra espressione per il valore di $P_{\frac {1}{x}}$$P_{\frac{1}{x}}$, infatti si è arrivati a:

$$P_{\frac {1}{x}}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{\mathbb {R} }{\frac {x}{x^{2}+\epsilon ^{2}}}dx$$

$$P_{\frac{1}{x}}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}\int_{\mathbb{R}}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}dx$$