Il valor principale

In questo capitolo ci occuperemo di un'altra distribuzione singolare: il valor principale . Si consideri , . Si definisce valore principale di la quantità

Quella appena usata non è l'unica rappresentazione del valor principale, infatti se si considera con supporto si ha:
Segue che è limitato in . Si può concludere che:

La distribuzione di Dirac e il valor principale rientrano nella determinazione di quella che si chiama formula di Plemelj-Sochozki:

Esempio (1 Formula di Plemelj-Sochozki)

Si calcoli

La funzione integrata contro è definita in campo complesso, pertanto la si riscrive distinguendo parte reale e immaginaria:
Per la parte immaginaria si ha che:
Detta quella che si ottiene altro non è che una rappresentazione della delta di Dirac:
Per la parte regolare occorre calcolare
Si osserva che l'integranda è una distrinuzione regolare della forma . Definiamo , distribuzione regolare dispari. Moltiplicando e dividendo per , l'integrale che definisce la parte reale della funzione di cui stiamo calcolando il limite si può riscrivere come:
Volendo passare al limite sotto il segno di integrale è necessario considerare il problema della convergenza dominata. In realtà si osserva che esiste una maggiorante integrabile per l'integranda:
Dunque è la maggiornate integrabile che permette di concludere che vi è convergenza dominata e quindi che le operazioni di limite e di integrale possono essere scambiate, quindi:
Così da poter concludere la formula di Plemelj-Sochozki:

 


L'esempio appena studiato ci ha permesso anche di determinare un'altra espressione per il valore di , infatti si è arrivati a:

 PrecedenteSuccessivo