Convoluzioni

In questo capitolo definiremo il concetto di convoluzione e ne daremo una caratterizzazione nel contesto della teoria delle distribuzioni.

Definizione

Date $f,g\in C^{0}(\mathbb {R} ^{n})$$f,g \in C^0(\mathbb{R}^n)$ si definisce convoluzione la quantità:

$$f\star g=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)dy$$

$$f\star g=\int_{\mathbb{R}^n}f(x-y)g(y)dy$$

 

Così come per la trasformata di Fourier, anche l'estensione di questo concetto in teoria delle distribuzioni risulta leggermente problematico. Infatti, definendo per estensione la distribuzione associata alla convoluzione $f\star g$$f\star g$ si avrebbe:

$$(f\star g)\phi =\int _{\mathbb {R} ^{n}}(f\star g)(x)\phi (x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)dy\right)\phi (x)dx=$$

$$(f\star g)\phi=\int_{\mathbb{R}^n}(f\star g)(x)\phi(x)dx=\int_{\mathbb{R}^n}\left(\int_{\mathbb{R}^n}f(x-y)g(y)dy\right)\phi(x)dx=$$

$$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(y)\phi (x+y)dxdy$$

$$=\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}f(x)g(y)\phi(x+y)dxdy$$

Tuttavia non si ha la possibilità di concludere che se $\phi (x)$$\phi(x)$ è a supporto compatto, anche $\phi (x+y)$$\phi(x+y)$ lo sia e quindi non si può concludere che quella scritta sopra sia una distribuzione. Essa lo è a patto che almeno una tra $f$$f$ e $g$$g$ sia a supporto compatto.

Definizione (Convoluzione di distribuzioni)

Siano $S,T$$S,T$ due distribuzioni, di cui almeno una a supporto compatto. Si definisce convoluzione di $S$$S$ e $T$$T$ la quantità:

$$S_{y}\star T_{x}(\phi )=S_{y}\left(T_{x}(\phi (x+y))\right)$$

$$S_y\star T_x(\phi)=S_y\left(T_x(\phi(x+y))\right)$$

Nel caso in cui $T$$T$ sia a supporto compatto.

 

Nella definizione, a pedice delle due distribuzioni, è indicata la variabile da cui esse dipendono.

Esempio

Sia $S_{y}$$S_y$ una generica distribuzione e $T_{x}=\delta _{0}$$T_x=\delta_0$. In questo caso si ha:

$$S_{y}\star \delta _{0}(\phi )=S_{y}\delta _{0}\left(\phi (x+y)\right)=S_{y}\phi (y)$$

$$S_y\star \delta_0(\phi)=S_y\delta_0\left(\phi(x+y)\right)=S_y\phi(y)$$

Ovvero: $S\star \delta =S,\;\forall \,\phi \in C_{0}^{\infty }$$S\star \delta=S,\;\forall\,\phi\in C^{\infty}_0$. Si può provare che pure $\delta \star S=S$$\delta\star S=S$, così da poter concludere che la delta di Dirac è l'unità rispetto alla convoluzione di distribuzioni.

 

Le convoluzioni sono assai utili nella risoluzione di particolari equazioni differenziali alle derivate parziali. Innanzi tutto si consideri la seguente definizione:

Definizione

Dato un qualsiasi operatore differenziale $P(\partial )$$P(\partial)$, una funzione $\Phi$$\Phi$ si definisce soluzione fondamentale per $P(\partial )$$P(\partial)$ se si ha

$$P(\partial )\Phi =\delta _{0}$$

$$P(\partial)\Phi=\delta_0$$

 

Vediamo l'utilità di quanto appreso in questo capitolo. Data

$$P(\partial )\left[\Phi \star f\right]={\underset {\delta _{0}}{\underbrace {\left(P(\partial _{x})\Phi _{x}\right)} }}\star f=f$$

$$P(\partial)\left[\Phi\star f\right]=\underset{\delta_0}{\underbrace{\left(P(\partial_x)\Phi_x\right)}}\star f=f$$

Dove il secondo passaggio è giustificato dal fatto che l'operatore $P(\partial )$$P(\partial)$ vedrà solo una tra $\Phi$$\Phi$ e $f$$f$, a seconda di quale sia la variabile su cui esso agisce. In sostanza si ha che

$$P(\partial )\left[\Phi \star f\right]=f$$

$$P(\partial)\left[\Phi\star f\right]=f$$

Dunque, se $\Phi$$\Phi$, soluzione fondamentale di $P(\partial )$$P(\partial)$, è nota, si potrà concludere che pure $u=\Phi \star f$$u=\Phi\star f$ è soluzione di $P(\partial )u=f$$P(\partial)u=f$.