Convoluzioni

In questo capitolo definiremo il concetto di convoluzione e ne daremo una caratterizzazione nel contesto della teoria delle distribuzioni.

Definizione

Date si definisce convoluzione la quantità:

 


Così come per la trasformata di Fourier, anche l'estensione di questo concetto in teoria delle distribuzioni risulta leggermente problematico. Infatti, definendo per estensione la distribuzione associata alla convoluzione si avrebbe:

Tuttavia non si ha la possibilità di concludere che se è a supporto compatto, anche lo sia e quindi non si può concludere che quella scritta sopra sia una distribuzione. Essa lo è a patto che almeno una tra e sia a supporto compatto.

Definizione (Convoluzione di distribuzioni)

Siano due distribuzioni, di cui almeno una a supporto compatto. Si definisce convoluzione di e la quantità:

Nel caso in cui sia a supporto compatto.

 


Nella definizione, a pedice delle due distribuzioni, è indicata la variabile da cui esse dipendono.

Esempio

Sia una generica distribuzione e . In questo caso si ha:

Ovvero: . Si può provare che pure , così da poter concludere che la delta di Dirac è l'unità rispetto alla convoluzione di distribuzioni.

 


Le convoluzioni sono assai utili nella risoluzione di particolari equazioni differenziali alle derivate parziali. Innanzi tutto si consideri la seguente definizione:

Definizione

Dato un qualsiasi operatore differenziale , una funzione si definisce soluzione fondamentale per se si ha

 


Vediamo l'utilità di quanto appreso in questo capitolo. Data

Dove il secondo passaggio è giustificato dal fatto che l'operatore vedrà solo una tra e , a seconda di quale sia la variabile su cui esso agisce. In sostanza si ha che
Dunque, se , soluzione fondamentale di , è nota, si potrà concludere che pure è soluzione di .

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