In questo capitolo definiremo il concetto di convoluzione e ne daremo una caratterizzazione nel contesto della teoria delle distribuzioni.
Definizione
Date
si definisce convoluzione la quantità:

Così come per la trasformata di Fourier, anche l'estensione di questo concetto in teoria delle distribuzioni risulta leggermente problematico. Infatti, definendo per estensione la distribuzione associata alla convoluzione
si avrebbe:


Tuttavia non si ha la possibilità di concludere che se

è a supporto compatto, anche

lo sia e quindi non si può concludere che quella scritta sopra sia una distribuzione. Essa lo è a patto che almeno una tra

e

sia a supporto compatto.
Definizione (Convoluzione di distribuzioni)
Siano
due distribuzioni, di cui almeno una a supporto compatto. Si definisce convoluzione di
e
la quantità:

Nel caso in cui

sia a supporto compatto.
Nella definizione, a pedice delle due distribuzioni, è indicata la variabile da cui esse dipendono.
Esempio
Sia
una generica distribuzione e
. In questo caso si ha:

Ovvero:

. Si può provare che pure

, così da poter concludere che
la delta di Dirac è l'unità rispetto alla convoluzione di distribuzioni.
Le convoluzioni sono assai utili nella risoluzione di particolari equazioni differenziali alle derivate parziali. Innanzi tutto si consideri la seguente definizione:
Definizione
Dato un qualsiasi operatore differenziale
, una funzione
si definisce soluzione fondamentale per
se si ha

Vediamo l'utilità di quanto appreso in questo capitolo. Data
![{\displaystyle P(\partial)\left[\Phi\star f\right]=\underset{\delta_0}{\underbrace{\left(P(\partial_x)\Phi_x\right)}}\star f=f}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/24f9f336a05e5c2dbd199abf2a047e85fa0140c5)
Dove il secondo passaggio è giustificato dal fatto che l'operatore

vedrà solo una tra

e

, a seconda di quale sia la variabile su cui esso agisce. In sostanza si ha che
![{\displaystyle P(\partial)\left[\Phi\star f\right]=f}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/80c6d51f94df37fb7d11af4a5452d4b01daade41)
Dunque, se

, soluzione fondamentale di

, è nota, si potrà concludere che pure

è soluzione di

.