Caratterizzazione delle distribuzioni

Nel capitolo precedente abbiamo osservato che ad ogni funzione integrabile su compatti di è possibile associare un funzionale lineare definito come , . In questo capitolo vogliamo capire meglio quali siano le proprietà di questo funzionale lineare per darne una caratterizzazione più dettagliata. Innanzi tutto è necessario introdurre il concetto di topologia su per poter poi definire il concetto di continuità di questo funzionale lineare . Per poter definire la topologia sul duale, si inizia definendo quella su . Tuttavia, data una successione in si hanno due problemi nel voler definire quando perché:

  • Si deve richiedere che anche e quindi occorre convergenza uniforme su tutte le derivate;
  • Si deve richiedere che abbiano tutti lo stesso supporto, altrimenti si richierebbe di avere su

Pertanto per definire il concetto di topologia su è necessario richiedere che tutti i abbiano stesso supporto compatto e che si abbia multiindice. Avendo definito il concetto di topologia su , ora è possibile definire quello sul suo duale.

Definizione

Sia . Si dice che esso è continuo se

 


Da cui segue la definizione di distribuzione:

Definizione (Distribuzione)

Si definisce distribuzione un funzionale lineare continuo sulle funzioni di test, ovvero continuo su .

 


Osserviamo che definito sopra è effettivamente una distribuzione, infatti si ha che:

Dunque:
Quindi effettivamente è una distribuzione.

Lo spazio delle funzioni test, , spesso si indica con , mentre il suo duale algebrico con ed è detto spazio delle distribuzioni. Nel caso in cui si omette in e . Diamo ora la definizione di supporto di una distribuzione:

Definizione (Supporto di una distribuzione)

si annulla nell'aperto se . Si consideri , unione degli aperti su cui si annulla. Il complementare di questo insieme, che sarà chiuso, si dice supporto di .

 


Nel capitolo successivo vedremo che in realtà non tutte le distribuzioni sono come . è detta distribuzione regolare, tuttavia esistono anche delle distribuzioni singolari, come la di Dirac e il valor principale di che saranno oggetto di studio del prossimo capitolo.

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