Sfruttiamo il teorema di D'Alembert per studiare il problema di Cauchy sulla retta:

Se

è soluzione classica ed è di calsse

allora, in virtù del teorema di D'Alembert, è possibile scrivere:

Questa espressione di

deve chiaramente soddisfare i dati iniziali del problema di Cauchy considerato:

Da cui segue che:

È dunque possibile ricavare l'espressione per

e

:

In definitiva, la soluzione del problema di Cauchy può essere scritta come:
![{\displaystyle
u(x;t)=\frac{1}{2}\left[u_0(x-vt)+u_0(x+vt)+\frac{1}{v}\int_{x-vt}^{x+vt}v_0(s)ds\right]
}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/403c29139110ff17327cec95667d1d7e61113469)
Quanto appena visto in realtà è un'applicazione diretta del seguente teorema:
Teorema
Sia
soluzione classica del problema di Cauchy:

Allora, l'unica soluzione del problema di Cauchy sulla retta è:
![{\displaystyle
u(x;t)=\frac{1}{2}\left[u_0(x-vt)+u_0(x+vt)+\frac{1}{v}\int_{x-vt}^{x+vt}v_0(s)ds\right]
}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/403c29139110ff17327cec95667d1d7e61113469)
Sebbene il teorema precedente abbia una portata molto ampia, è bene notare che nel caso in cui
allora la soluzione del problema di Cauchy sarà data da:
![{\displaystyle
u(x;t)=\frac{1}{2}\left[u_0(x-vt)+u_0(x+vt)\right]
}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/0dedd82ee915c78e9c6f1904ff90316e2be858e1)
Che può essere costruita utilizzando una funzione a gradino. In effetti, in questo caso, non si ha più regolarità nei dati iniziali e quindi la soluzione non sarà più classica: infatti viene meno una delle ipotesi del teorema precedente.
Il risultato del teorema precedente è esprimibile in forma ancor più generica, infatti lo studio del seguente problema di Cauchy:

Porta a ricavare la seguente espressione per la soluzione:
![{\displaystyle
u(x;t)=\frac{1}{2}\left[u_0(x-vt)+u_0(x+vt)+\frac{1}{v}\int_{x-v(t-t_0)}^{x+v(t-t_0)}v_0(s)ds\right]
}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/c6f5a49e530377a77d0b3918d11bdb3a8db8c95b)
Quanto appena detto consente di arrivare ad un'importante conclusione: la soluzione dell'equazione delle onde non solo è invariante per inversioni temporali, ma anche per traslazioni temporali. Questo implica che la soluzione dell'equazione delle onde è invariante anche per trasformazioni di Lorentz.