L'equazione delle onde sulla retta

Sfruttiamo il teorema di D'Alembert per studiare il problema di Cauchy sulla retta:

Se è soluzione classica ed è di calsse allora, in virtù del teorema di D'Alembert, è possibile scrivere:
Questa espressione di deve chiaramente soddisfare i dati iniziali del problema di Cauchy considerato:
Da cui segue che:
È dunque possibile ricavare l'espressione per e :
In definitiva, la soluzione del problema di Cauchy può essere scritta come:

Quanto appena visto in realtà è un'applicazione diretta del seguente teorema:

Teorema

Sia soluzione classica del problema di Cauchy:

Allora, l'unica soluzione del problema di Cauchy sulla retta è:

 


Osservazione

Sebbene il teorema precedente abbia una portata molto ampia, è bene notare che nel caso in cui allora la soluzione del problema di Cauchy sarà data da:

Che può essere costruita utilizzando una funzione a gradino. In effetti, in questo caso, non si ha più regolarità nei dati iniziali e quindi la soluzione non sarà più classica: infatti viene meno una delle ipotesi del teorema precedente.

 


Il risultato del teorema precedente è esprimibile in forma ancor più generica, infatti lo studio del seguente problema di Cauchy:

Porta a ricavare la seguente espressione per la soluzione:
Quanto appena detto consente di arrivare ad un'importante conclusione: la soluzione dell'equazione delle onde non solo è invariante per inversioni temporali, ma anche per traslazioni temporali. Questo implica che la soluzione dell'equazione delle onde è invariante anche per trasformazioni di Lorentz.

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