In analogia con i due casi appena visti (corda vibrante ed equazione del calore con condizioni di Neumann) si vuole ora risolvere il problema dell'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche:
![{\displaystyle
\begin{cases}
u_t-Du_{xx}=0\\
u(x;0)=u_0(x)\\
u(-L;t)=u(L;t)\\
u_x(-L;t)=u_x(L;t)
\end{cases},\;x\in\left[-L;L\right],\;t\in\mathbb{R}
}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/58fdc401a97628e9aeebf4298ae44959b9b52ff7)
Anche in questo caso la strategia risolutiva che viene adottata è quella del metodo di Fourier, ovvero di separazione delle variabili: sia

.
Per la parte spaziale, anche in questo caso, si ha:

A differenza dei casi precedentemente studiati, ora si hanno condizioni al bordo periodiche. Questo implica che si avranno stesse soluzioni per

,

,

, cioè che tutti i valori di

sono ora ammissibili. Ancora una volta si ottiene

. Le soluzioni della parte spaziale e di quella temporale sono date da:


La soluzione del problema di Cauchy, con condizioni al bordo periodiche, può essere scritta come:

Il valore dei coefficienti

e

è dato dai coefficienti di Fourier di

, fissata dalle condizioni iniziali:

Si noti che mentre per le condizioni di Neumann e di Dirichlet si hanno solo seni o coseni, qui si hanno entrambi. Infatti
implica un prolungamento dispari naturale e
, mentre
implica un prolungamento pari naturale e
. Le condizioni al bordo periodiche invece rappresentano un caso più generale.
Per i valori di
,
e
si ha che:



Le soluzioni

normalizzate dunque sono:
