L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche

In analogia con i due casi appena visti (corda vibrante ed equazione del calore con condizioni di Neumann) si vuole ora risolvere il problema dell'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche:

$${\begin{cases}u_{t}-Du_{xx}=0\\u(x;0)=u_{0}(x)\\u(-L;t)=u(L;t)\\u_{x}(-L;t)=u_{x}(L;t)\end{cases}},\;x\in \left[-L;L\right],\;t\in \mathbb {R}$$

$$\begin{cases} u_t-Du_{xx}=0\\ u(x;0)=u_0(x)\\ u(-L;t)=u(L;t)\\ u_x(-L;t)=u_x(L;t) \end{cases},\;x\in\left[-L;L\right],\;t\in\mathbb{R}$$

Anche in questo caso la strategia risolutiva che viene adottata è quella del metodo di Fourier, ovvero di separazione delle variabili: sia $u(x;t)=S(x)T(t)$$u(x;t)=S(x)T(t)$.

Per la parte spaziale, anche in questo caso, si ha:

$$S^{\prime \prime }(x)-\alpha S(x)=0$$

$$S^{\prime\prime}(x)-\alpha S(x)=0$$

A differenza dei casi precedentemente studiati, ora si hanno condizioni al bordo periodiche. Questo implica che si avranno stesse soluzioni per $\alpha >0$$\alpha >0$, $\alpha =0$$\alpha =0$, $\alpha <0$$\alpha <0$, cioè che tutti i valori di $\alpha$$\alpha$ sono ora ammissibili. Ancora una volta si ottiene $\alpha =-k_{n}^{2}=-\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2}$$\alpha=-k_{n}^{2}=-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2$. Le soluzioni della parte spaziale e di quella temporale sono date da:

$$S_{n}(x)={\begin{cases}\cos(k_{n}x)\\\sin(k_{n}x)\end{cases}},\;\forall n\in \mathbb {N}$$

$$S_n(x)= \begin{cases} \cos(k_nx)\\ \sin(k_nx) \end{cases},\;\forall n\in\mathbb{N}$$

$$T_{n}(t)=A_{n}e^{-Dk_{n}^{2}t}$$

$$T_n(t)=A_ne^{-Dk_{n}^2t}$$

La soluzione del problema di Cauchy, con condizioni al bordo periodiche, può essere scritta come:

$$u(x;t)=A_{0}+\sum _{n=1}^{+\infty }\left(A_{n}\cos(k_{n}x)+B_{n}\sin(k_{n}x)\right)e^{-Dk_{n}^{2}t}$$

$$u(x;t)=A_0+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(A_n\cos(k_nx)+B_n\sin(k_nx)\right)e^{-Dk_{n}^2t}$$

Il valore dei coefficienti $A_{0}$$A_0$ e $A_{n}$$A_n$ è dato dai coefficienti di Fourier di $u_{0}(x)$$u_0(x)$, fissata dalle condizioni iniziali:

$$u(x;0)=A_{0}+\sum _{n=1}^{+\infty }\left(A_{n}\cos(k_{n}x)+B_{n}\sin(k_{n}x)\right)=u_{0}(x)$$

$$u(x;0)=A_0+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(A_n\cos(k_nx)+B_n\sin(k_nx)\right)=u_0(x)$$

Osservazione

Si noti che mentre per le condizioni di Neumann e di Dirichlet si hanno solo seni o coseni, qui si hanno entrambi. Infatti $u(x;0)=0$$u(x;0)=0$ implica un prolungamento dispari naturale e $A_{n}=0\,\forall n$$A_n=0\,\forall n$, mentre $u_{x}(x;0)=0$$u_x(x;0)=0$ implica un prolungamento pari naturale e $B_{n}=0\,\forall n$$B_n=0\,\forall n$. Le condizioni al bordo periodiche invece rappresentano un caso più generale.

 

Per i valori di $A_{0}$$A_0$, $A_{n}$$A_n$ e $B_{n}$$B_n$ si ha che:

$$A_{0}={\frac {\left\langle S\mid u_{0}\right\rangle }{\left\langle 1\mid 1\right\rangle }}={\frac {1}{2L}}\int _{-L}^{L}u_{0}(x)dx$$

$$A_0=\frac{\left\langle S\mid u_0\right\rangle}{\left\langle 1 \mid 1 \right\rangle}=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}u_0(x)dx$$

$$A_{n}={\frac {\left\langle \cos(k_{n}x)\mid u_{0}\right\rangle }{\left\langle \cos(k_{n}\cdot )\mid \cos(k_{n}\cdot )\right\rangle }}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}\cos(k_{n}x)u_{0}(x)dx$$

$$A_n=\frac{\left\langle \cos(k_nx)\mid u_0\right\rangle}{\left\langle \cos(k_n\cdot ) \mid \cos(k_n\cdot ) \right\rangle}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\cos(k_nx)u_0(x)dx$$

$$B_{n}={\frac {\left\langle \sin(k_{n}x)\mid u_{0}\right\rangle }{\left\langle \sin(k_{n}\cdot )\mid \sin(k_{n}\cdot )\right\rangle }}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}\sin(k_{n}x)u_{0}(x)dx$$

$$B_n=\frac{\left\langle \sin(k_nx)\mid u_0\right\rangle}{\left\langle \sin(k_n\cdot) \mid \sin(k_n\cdot) \right\rangle}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\sin(k_nx)u_0(x)dx$$

Le soluzioni $S_{n}(x)$$S_n(x)$ normalizzate dunque sono:

$$S_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {L}}}\cos(k_{n}x)\\{\frac {1}{\sqrt {L}}}\sin(k_{n}x)\end{cases}}\;n\in \mathbb {N}$$

$$S_n(x)= \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{L}}\cos(k_nx)\\ \frac{1}{\sqrt{L}}\sin(k_nx) \end{cases}\;n\in\mathbb{N}$$