L'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche

In analogia con i due casi appena visti (corda vibrante ed equazione del calore con condizioni di Neumann) si vuole ora risolvere il problema dell'equazione del calore con condizioni al bordo periodiche:

Anche in questo caso la strategia risolutiva che viene adottata è quella del metodo di Fourier, ovvero di separazione delle variabili: sia .

Per la parte spaziale, anche in questo caso, si ha:

A differenza dei casi precedentemente studiati, ora si hanno condizioni al bordo periodiche. Questo implica che si avranno stesse soluzioni per , , , cioè che tutti i valori di sono ora ammissibili. Ancora una volta si ottiene . Le soluzioni della parte spaziale e di quella temporale sono date da:
La soluzione del problema di Cauchy, con condizioni al bordo periodiche, può essere scritta come:
Il valore dei coefficienti e è dato dai coefficienti di Fourier di , fissata dalle condizioni iniziali:

Osservazione

Si noti che mentre per le condizioni di Neumann e di Dirichlet si hanno solo seni o coseni, qui si hanno entrambi. Infatti implica un prolungamento dispari naturale e , mentre implica un prolungamento pari naturale e . Le condizioni al bordo periodiche invece rappresentano un caso più generale.

 


Per i valori di , e si ha che:

Le soluzioni normalizzate dunque sono:

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