L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann

Si vuole ora studiare l'equazione del calore, con condizioni al bordo di Neumann:

Usando lo stesso metodo risolutivo adottato per risolvere l'equazione della corda vibrante con estremi fissi, ovvero il metodo di separazione delle variabili, si ha:
Per la parte spaziale si ottiene:
Anche in questo caso, così come per la corda vibrante, è possibile osservare che i casi e non sono accettabili perchè si otterrebbe un'espressione per che non soddisferebbe le condizioni iniziali. Pertanto sia . Detto si ottiene:
Dunque le soluzioni per la parte spaziale sono date da:
Si osservi che il caso da : in questo caso non è un problema, a differenza del caso della corda vibrante con estremi fissi, dato che le condizioni al bordo di Neumann rimangono soddisfatte. In maniera analoga si risolve l'equazione differenziale per la parte temporale e si ottiene:
In definitiva, la soluzione globale del problema di Cauchy studiato sarà data dalla combinazione lineare delle :
La soluzione appena trovata deve soddisfare anche le condizioni iniziali, pertanto è necessario che:
I coefficienti e , come nel caso della corda vibrante, non sono altro che i coefficienti di Fourier di . Anche in questo caso è possibile concludere che le soluzioni spaziali costituiscono un sistema ortogonale in che può essere normalizzato in maniera tale da far si che esso costituisca un sistema ortonormale completo.

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