Si consideri ancora il problema di Dirichlet per la corda vibrante:

È stato già dimostrato che la soluzione del problema può essere scritta sfruttando la serie di Fourier:

Sappiamo che l'energia totale può essere scritta, da definizione, come:
![{\displaystyle
E=E(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{L}\left[u_t^2(x;t)+v^2u_x^2(x;t)\right]dx
}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/ce813e4a016ffba3f132dd6b8d434ffea43370eb)
Si vuole ora ricavare l'espressione esplicita per questa grandezza. Per farlo si sfrutta un'importnate proprietà del sistema studiato: l'energia totale è una grandezza conservata. Dunque:
![{\displaystyle
E(t)=E(0)=\frac{1}{2}\int_{0}^{L}\left[u_t^2(x)+v^2u_x^2(x)\right]dx
}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/3ca3a037df12d3eefe84e6a6d7b2f9e22b31dea3)
Per scrivere esplicitamente

in funzione dell'espressione di

scritta sopra, è necessario calcolare esplicitamente

e

:
- Per
si ha che:
- Per
si ha che
. Essendo
si ha:
Da cui segue che
può essere scritta come:
È ora possibile calcolare i quadrati di queste due funzioni, necessari per poter determinare l'espressione esplicita dell'energia totale del sistema:

Integrando tra 0 e L si ottiene:

Con conti del tutto analoghi si ricava il valore del termine di energia potenziale:

In definitiva, l'energia totale del sistema può essere scritta come:

Si è arrivati ad un risultato piuttosto importante: la corda vibrante può essere idealizzata ad un sistema di infiniti oscillatori armonici. Inoltre l'analisi di Fourier, che ci ha permesso di scrivere

, permette di trovare una base ortonormale rispetto a cui l'energia è diagonale.