L'energia per la corda vibrante

Si consideri ancora il problema di Dirichlet per la corda vibrante:

$${\begin{cases}u_{tt}-v^{2}u_{xx}=0\\u(x;0)=u(x)\\u_{t}(x;0)=u_{t}(x)\\u(0;t)=u(L;t)=0\end{cases}}$$

$$\begin{cases} u_{tt}-v^2u_{xx}=0\\ u(x;0)=u(x)\\ u_t(x;0)=u_t(x)\\ u(0;t)=u(L;t)=0 \end{cases}$$

È stato già dimostrato che la soluzione del problema può essere scritta sfruttando la serie di Fourier:

$$u(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }q_{n}(t)s_{n}(x)$$

$$u(x;t)=\sum_{n=1}^{+\infty}q_n(t)s_n(x)$$

Sappiamo che l'energia totale può essere scritta, da definizione, come:

$$E=E(t)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}\left[u_{t}^{2}(x;t)+v^{2}u_{x}^{2}(x;t)\right]dx$$

$$E=E(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{L}\left[u_t^2(x;t)+v^2u_x^2(x;t)\right]dx$$

Si vuole ora ricavare l'espressione esplicita per questa grandezza. Per farlo si sfrutta un'importnate proprietà del sistema studiato: l'energia totale è una grandezza conservata. Dunque:

$$E(t)=E(0)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}\left[u_{t}^{2}(x)+v^{2}u_{x}^{2}(x)\right]dx$$

$$E(t)=E(0)=\frac{1}{2}\int_{0}^{L}\left[u_t^2(x)+v^2u_x^2(x)\right]dx$$

Per scrivere esplicitamente $E$$E$ in funzione dell'espressione di $u(x;t)$$u(x;t)$ scritta sopra, è necessario calcolare esplicitamente $u_{t}$$u_t$ e $u_{x}$$u_x$:

• Per $u_{t}$$u_t$ si ha che:
  $$u_{t}=u_{t}(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\dot {q}}_{n}(t)s_{n}(x)$$

  $$u_t=u_t(x;t)=\sum_{n=1}^{+\infty}\dot{q}_n(t)s_n(x)$$
• Per $u_{x}$$u_x$ si ha che $u_{x}(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }q_{n}(t)s_{n}^{\prime }(x)$$u_{x}(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }q_{n}(t)s_{n}^{\prime }(x)$. Essendo $s_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)$$s_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(k_nx)$ si ha:
  $$s^{\prime }(x)=k_{n}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)=k_{n}{\tilde {s}}_{n}(x)$$

  $$s^{\prime}(x)=k_n\sqrt{\frac{2}{L}}\cos(k_nx)=k_n\tilde{s}_n(x)$$
  Da cui segue che $u_{x}(x;t)$$u_x(x;t)$ può essere scritta come:
  $$u_{x}(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }q_{n}(t)k_{n}{\tilde {s}}_{n}(x)$$

  $$u_x(x;t)=\sum_{n=1}^{+\infty}q_n(t)k_n\tilde{s}_n(x)$$

È ora possibile calcolare i quadrati di queste due funzioni, necessari per poter determinare l'espressione esplicita dell'energia totale del sistema:

$$u_{t}^{2}(x;t)=\sum _{n=1}^{+\infty }\sum _{m=1}^{+\infty }{\dot {q}}_{n}(t)s_{n}(x){\dot {q}}_{m}(t)s_{m}(t)$$

$$u^2_t(x;t)=\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{m=1}^{+\infty}\dot{q}_n(t)s_n(x)\dot{q}_m(t)s_m(t)$$

Integrando tra 0 e L si ottiene:

$$\int _{0}^{L}u_{t}^{2}(x;t)dx=\sum _{n=1}^{+\infty }\sum _{m=1}^{+\infty }{\dot {q}}_{n}(t){\dot {q}}_{m}(t){\underset {\delta _{n,m}}{\underbrace {\int _{0}^{L}s_{n}(x)s_{m}(x)dx} }}=\sum _{n=1}^{+\infty }{\dot {q}}_{n}^{2}(t)$$

$$\int_{0}^{L}u^2_t(x;t)dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{m=1}^{+\infty}\dot{q}_n(t)\dot{q}_m(t)\underset{\delta_{n,m}}{\underbrace{\int_{0}^{L}s_n(x)s_m(x)dx}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dot{q}_n^2(t)$$

Con conti del tutto analoghi si ricava il valore del termine di energia potenziale:

$$\int _{0}^{L}v^{2}u_{x}^{2}(x;t)dx=v^{2}\sum _{n=1}^{+\infty }\sum _{m=1}^{+\infty }q_{n}(t)q_{m}(t){\underset {\delta _{n,m}k_{n}k_{m}}{\underbrace {\int _{0}^{L}{\tilde {s}}_{n}(x){\tilde {s}}_{m}(x)k_{n}k_{m}dx} }}=v^{2}\sum _{n=1}^{+\infty }q_{n}^{2}(t)k_{n}^{2}$$

$$\int_{0}^{L}v^2u_x^2(x;t)dx=v^2\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{m=1}^{+\infty}q_n(t)q_m(t)\underset{\delta_{n,m}k_nk_m}{\underbrace{\int_{0}^{L}\tilde{s}_n(x)\tilde{s}_m(x)k_nk_mdx}}=v^2\sum_{n=1}^{+\infty}q^2_n(t)k_n^2$$

In definitiva, l'energia totale del sistema può essere scritta come:

$$E(t)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}\left(u_{t}^{2}+v^{2}u_{x}^{2}\right)dx={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{+\infty }\left({\dot {q}}^{2}+{\underset {\omega _{n}^{2}}{\underbrace {v^{2}k_{n}^{2}} }}q_{n}^{2}\right)=\sum _{n=1}^{+\infty }\left({\frac {1}{2}}{\dot {q}}_{n}^{2}+{\frac {1}{2}}\omega _{n}^{2}q_{n}^{2}\right)$$

$$E(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{L}\left(u_t^2+v^2u_x^2\right)dx=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dot{q}^2+\underset{\omega_n^2}{\underbrace{v^2k_n^2}}q_n^2\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\dot{q}_n^2+\frac{1}{2}\omega_n^2q_n^2\right)$$

Si è arrivati ad un risultato piuttosto importante: la corda vibrante può essere idealizzata ad un sistema di infiniti oscillatori armonici. Inoltre l'analisi di Fourier, che ci ha permesso di scrivere $u(x;t)=\sum q_{n}(t)s_{n}(x)$$u(x;t)=\sum q_n(t)s_n(x)$, permette di trovare una base ortonormale rispetto a cui l'energia è diagonale.