L'energia per la corda vibrante

Si consideri ancora il problema di Dirichlet per la corda vibrante:

È stato già dimostrato che la soluzione del problema può essere scritta sfruttando la serie di Fourier:
Sappiamo che l'energia totale può essere scritta, da definizione, come:
Si vuole ora ricavare l'espressione esplicita per questa grandezza. Per farlo si sfrutta un'importnate proprietà del sistema studiato: l'energia totale è una grandezza conservata. Dunque:
Per scrivere esplicitamente in funzione dell'espressione di scritta sopra, è necessario calcolare esplicitamente e :

  • Per si ha che:
  • Per si ha che . Essendo si ha:
    Da cui segue che può essere scritta come:

È ora possibile calcolare i quadrati di queste due funzioni, necessari per poter determinare l'espressione esplicita dell'energia totale del sistema:

Integrando tra 0 e L si ottiene:
Con conti del tutto analoghi si ricava il valore del termine di energia potenziale:
In definitiva, l'energia totale del sistema può essere scritta come:
Si è arrivati ad un risultato piuttosto importante: la corda vibrante può essere idealizzata ad un sistema di infiniti oscillatori armonici. Inoltre l'analisi di Fourier, che ci ha permesso di scrivere , permette di trovare una base ortonormale rispetto a cui l'energia è diagonale.

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