Il teorema di D'Alembert

Nei capitoli precedenti è stata derivata l'equazione delle onde nel caso monodimensionale:

Ora si vuole capire come è possibile studiare questa equazione per determinarne le soluzioni. In sostanza si vuole determinare che la soddisfi. Per farlo non si risolverà esplicitamente l'equazione, ma si sfrutterà un teorema dovuto a D'Alembert:

Teorema (Di D'Alembert)

Sia soluzione dell'equazione delle onde. Allora:

Con .

 


Il teorema di D'Alembert dunque afferma che ogni soluzione dell'equazione delle onde può sempre essere scritta come somma di un'onda progressiva, , e di un'onda regressiva, . Inoltre è possibile provare che, se , anche e soddisfano l'equazione delle onde. Dimostriamo il teorema di D'Alembert:

Dimostrazione

Si consideri la seguente trasformazione di coordinate:

Si nota che e sono lineari e invertibili. Ora si vuole scrivere l'azione dell'operatore di D'Alembert in funzione di . Essendo , si ha che:
Infatti:
In modo analogo si prova che . L'equazione delle onde, espressa in funzione di e , può essere dunque scritta come:
Ovvero:
Dato che non dipende da la si può scrivere come e si ottiene:
Da cui segue che:
Tornando in si conclude che:

 
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