Il problema della corda vibrante con condizioni al bordo di Dirichlet

Continuiamo ad occuparci dell'equazione delle onde: si vuole studiare il problema di Cauchy per un dominio limitato . Dalla limitatezza del dominio segue la necessità di condizioni al bordo di Dirichlet. Quindi, il problema studiato è:

Si procede alla risoluzione di questo problema di Cauchy usando il metodo di separazione delle variabili. Pertanto sia l'espressione attesa per la soluzione. Deve valere:
Si osserva che perchè non avrebbe senso fisico e non soddisferebbe le condizioni iniziali. Pertanto è lecito dividere ambo i lati dell'equazione appena scritta per e ottenere:
Ovvero:
Dove è necessario imporre l'uguaglianza ad una costante dal momento che i due membri dell'uguaglianza appena scritta dipendono da due variabili distinte. In definitiva si ottengono due equazioni differenziali, una per la parte spaziale e una per quella temporale di :
Iniziamo risolvendo l'equazione per la parte spaziale: può essere maggiore, minore oppure uguale a zero. I casi e non sono ammissibili, infatti:

  • Se avremmo:
    Tuttavia questa soluzione implicherebbe che , che è l'unica possibilità per far si che vengano soddisfatte sia le condizioni iniziali che quelle al bordo. Chiaramente una soluzione di questo tipo è priva di significato, dal momento che rappresenta una funzione d'onda identicamente nulla nello spazio e nel tempo, pertanto viene scartata.
  • Se avremmo:
    Tuttavia, sempre per dover soddisfare le condizioni iniziali al bordo, anche in questo caso si avrebbe .

Necessariamente si dovrà avere . Sia . Per la parte spaziale si ottiene:

Per le condizioni al bordo si ha:
Si conclude quindi che, posto , esistono infinite soluzioni, tuttavia quantizzate, per la parte spaziale. Esse corrispondono a tutti quei :
Per la parte temporale occorre risolvere:
Procedendo in maniera del tutto analoga a quanto si è fatto per la parte spaziale si ricava:
Si conclude quindi che una soluzione del problema di Cauchy studiato è:
Si osserva che anche combinando tra loro le varie si trova una soluzione del problema di Cauchy che soddisfa le condizioni iniziali e quelle al bordo. Pertanto anche la seguente è soluzione:
Con condizioni iniziali soddisfatte per:
Ovvero, la soluzione trovata soddisfa le condizioni iniziali quando è risolvibile il sistema appena scritto. Questo significa che è sufficiente determinare i coefficienti di Fourier delle funzioni, per ipotesi note, e . Richiedendo inoltre che le soluzioni della parte spaziale siano tra loro ortogonali si ricava che:
Ovvero:
Si conclude quindi che rappresenta un sistema ortonormale in . Concludiamo osservando che, come già detto sopra, è possibile prendere nella forma:
Tuttavia, affinchè questa espressione soddisfi anche le condizioni iniziali, è necessario che e , che come già detto sono coefficienti di Fourier, siano dati da:

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