Sviluppi di Fourier e identità di Parseval

Nei capitoli precedenti sono stati trovati gli autovalori e gli autovettori per l'operatore nel caso di condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann:

  • Per condizioni al bordo di Dirichlet:
  • Per condizioni al bordo di Neumann:

Avendo poi osservato che la successione degli autovettori, in entrambi i casi, costituiva un sistema ortonormale completo. Anche per (ovvero con condizioni al bordo di Robin), seppur non si sia in grado di fare esattamente i conti, si potrà concludere che la costituisce un sistema ortonormale completo. Questa proprietà degli autovalori discende dal seguente teorema:

Teorema

Sia una successione di autovettori ortonormali nello spazio di Hilbert , nel caso in esame , e siano dei coefficienti numerici. Allora:

I coefficienti si chiamano coefficienti di Fourier di f, rispetto a .

 


Il teorema afferma che nell'approssimare con una somma parziale, l'errore minimo che si introduce è quello in cui l'approssimazione è data in sviluppo in serie di Fourier. Un altro importante punto da sottolineare è il seguente: in virtù del teorema appena enunciato è possibile concludere che la serie converge, ma non è detto (a priori) che essa converga a .Vediamo ora la dimostrazione del teorema:

Dimostrazione

Si ha che:

Quindi è possibile concludere che:

 


Concludiamo questo capitolo riprendendo l'osservazione fatta in precedenza: il teorema appena dimostrato permette di concludere che la serie dei suoi coefficienti di Fourier converge. Tuttavia non è possibile affermare, a priori, che essa converga a : affichè ciò sia vero è necessario che la successione sia un sistema ortonormale completo. In tal caso vale l' identità di Parseval:

Si osservi anche che per poter portare avanti il discorso appena fatto non è stato necessario lavorare con un particolare spazio di Hilbert, ma è stato sufficiente usare la nozione di norma, e le sue proprietà, in uno spazio di Hilbert: questo ad indicare l'estrema generalità di quanto appena fatto.

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