Teorema di Liouville

Teorema (Teorema di Liouville)

Sia armonica e limitata. Allora è costante.

 


Dimostrazione

Prendiamo , . Sappiamo che è analitica quindi possiamo fare la derivata del laplaciano:

anche la derivata prima di è armonica e quindi possiamo usare la proprietà della media.
utilizziamo la prima formula di Green:
Abbiamo legato derivata con la funzione , ma ora sappiamo che è limitata.
Siccome deve valere per ogni allora si ottiene che , quindi è costante in .

 
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