Teorema (Teorema di Liouville)
Sia
armonica e limitata. Allora
è costante.
Dimostrazione
Prendiamo
,
. Sappiamo che
è analitica quindi possiamo fare la derivata del laplaciano:

anche la derivata prima di

è armonica e quindi possiamo usare la proprietà della media.

utilizziamo la prima formula di Green:

Abbiamo legato derivata con la funzione

, ma ora sappiamo che

è limitata.

Siccome deve valere per ogni

allora si ottiene che

, quindi

è costante in

.