Teorema di Liouville

Teorema (Teorema di Liouville)

Sia $u:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$$u: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ armonica e limitata. Allora $u$$u$ è costante.

 

Dimostrazione

Prendiamo $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$$x_0 \in \mathbb{R}^n$, $u(x_{0})=\oint _{B(x_{0},r)}u(y)dy$$u(x_0) = \oint_{B(x_0,r)} u(y)dy$. Sappiamo che $u$$u$ è analitica quindi possiamo fare la derivata del laplaciano:

$${\frac {\partial {}}{\partial {x_{i}}}}\Delta u=0=\Delta \left({\frac {\partial {u}}{\partial {x_{i}}}}\right)\rightarrow \Delta u_{x_{i}}=0$$

$$\frac{\partial {}}{\partial {x_i}}\Delta u = 0 = \Delta \left( \frac{\partial {u}}{\partial {x_i}}\right) \rightarrow \Delta u_{x_i} = 0$$

anche la derivata prima di $u$$u$ è armonica e quindi possiamo usare la proprietà della media.

$$u_{x_{i}}(x_{0})=\oint _{B(x_{0},r)}u_{x_{i}}(y)dy$$

$$u_{x_i}(x_0) = \oint_{B(x_0,r)} u_{x_i}(y)dy$$

utilizziamo la prima formula di Green:

$$u_{x_{i}}={\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{B(x_{0},r)}1\cdot {\frac {\partial {u}}{\partial {x_{i}}}}(y)dy={\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{\partial B(x_{0},r)}u(y)\cdot n_{i}d\sigma (y)$$

$$u_{x_i} = \frac{1}{\alpha(n) r^n} \int_{B(x_0,r)} 1 \cdot \frac{\partial {u}}{\partial {x_i}}(y)dy = \frac{1}{\alpha(n) r^n} \int_{\partial B(x_0,r)} u(y)\cdot n_i d\sigma(y)$$

Abbiamo legato derivata con la funzione $u$$u$, ma ora sappiamo che $u$$u$ è limitata.

$${\begin{aligned}\left|{\frac {\partial {u}}{\partial {x_{i}}}}(x_{0})\right|&=\left|{\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{\partial B(x_{0},r)}u(y)\cdot n_{i}d\sigma (y)\right|\\&\leq \left|u\right|_{{\mathcal {L}}^{\infty }}\cdot {\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{\partial B}1d\sigma (y)\\&\leq \left|u\right|_{{\mathcal {L}}^{\infty }}{\frac {n\alpha (n)r^{n-1}}{\alpha (n)r^{n}}}\leq {\frac {n\left|u\right|_{{\mathcal {L}}^{\infty }}}{r}}\end{aligned}}$$

$$\begin{align}\left|\frac{\partial {u}}{\partial {x_i}}(x_0)\right| &= \left| \frac{1}{\alpha(n)r^n} \int_{\partial B(x_0,r)} u(y) \cdot n_i d\sigma(y) \right|\\ & \leq \left| u \right|_{\mathcal{L}^{\infty}} \cdot\frac{1}{\alpha(n)r^n} \int_{\partial B} 1 d\sigma(y) \\ &\leq \left| u \right|_{\mathcal{L}^{\infty}}\frac{n\alpha(n)r^{n-1}}{\alpha(n)r^n} \leq \frac{n \left| u \right|_{\mathcal{L}^{\infty}}}{r}\end{align}$$

Siccome deve valere per ogni $r$$r$ allora si ottiene che ${\frac {\partial {u}}{\partial {x_{i}}}}=0\;\forall x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$$\frac{\partial {u}}{\partial {x_i}} = 0\; \forall x_0 \in \mathbb{R}^n$, quindi $u$$u$ è costante in $\mathbb {R} ^{n}$${\mathbb {R}}^{n}$.