Regolarità delle funzioni armoniche

Affrontiamo ora le proprietà di regolarità delle funzioni armoniche. Prima di tutto però analizziamo le proprietà di una particolare funzione che ci sarà utile nelle dimostrazioni.


Definizione (Il mollificatore)

Consideriamo la funzione su :

 

è una variabile di normalizzazione tale che Questa funzione ha diverse proprietà:

  • per , ,
  • Qualunche derivate di tende a per .

Generalizziamo la funzione scalandola e traslandola:

il supporto ora ha raggio ed è centrata in .


Teorema (Regolarità delle funzioni armoniche)

Sia aperto limitato di e che soddisfi la proprietà della media

Allora

 



Dimostrazione

Consideriamo tale che . Eseguiamo la convoluzione di con , cioè:

Dimostriamo che:

Prendiamo , possiamo passare la derivata rispetto a sotto l'integrale perchè è in che è a supporto compatto.

Essendo una funzione è analitica.

Ora calcoliamo restingendoci al support di che è

Otteniamo quindi da un lato e dall'altro la misura della superficie sperica di raggio . Possiamo quindi ricomporre l'integrale sulla sfera.
Nell'ultimo integrale abbiamo utilizzato la normalizzazione del mollificatore.

Quindi abbiamo dimostrato che e .

 



Osservazione

Se consideriamo che rispetta la proprietà della media allora è armonica (vedi Inverso della proprietà della media). L'ultimo teorema dimostra che le funzioni armoniche sono anche analitiche

 
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