Proprietà generali delle funzioni armoniche

Nel capitolo precedente abbiamo accennato al fatto che le funzioni armoniche sono soluzioni dell'equazione di Laplace e ne è stata data una prima caratterizzazione. Qui, e nei prossimi capitoli,ci si occuperà di definire in modo più preciso alcune proprietà fondamentali di questa classe di funzioni.


Definizione

Sia la palla di centro e raggio in e sia . Si definiscono:

  • la misura della palla di raggio 1 in .
  • la misura del bordo della palla di raggio 1 in .

Si ha che:

 
Definizione (Media di una funzione)

Sia . Si definiscono le seguenti quantità:

  • Media sulla palla[1] :

  • Media sulla sfera :

 
  1. Attenzione! Utilizziamo qui il simbolo per indicare gli ingrali di media sferica e sulla palla, non integrali di linea
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