Principio del massimo

Le funzioni armoniche possiedono importanti proprietà anche per quanto riguarda il massimo e il minimo sull'insieme di definizione .


Teorema (Principio del massimo)

Sia armonica. aperto e limitato. Allora:

  • Se è connesso ed esiste tale che allora è costante in .
 


Dimostrazione

Se la seconda conseguenza è verificata lo è anche la prima, quindi verifichiamo solo la seconda.

La dimostrazione è per assurdo. Supponiamo che tale the . Prendiamo tale che . Se è il massimo significa che:

Ma per il teorema della media non può essere minore, solo uguale. Quindi deve essere costante ed uguale a in tutta la palla.

Procediamo ora per connessione: Considero un punto , anche che per ipotesi è un massimo, quindi posso creare una nuova palla e concludere di nuovo che è costante in tutta la palla. Siccome l'insieme è connesso posso raggiungere tutti i punti di con questo metodo dimostrando che la funzione è costante in tutto l'insieme. Quindi se una funzione armonica ha massimo, questo è situato sulla frontiera del dominio, altrimenti la funzione è costante.

 
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