Le funzioni armoniche possiedono importanti proprietà anche per quanto riguarda il massimo e il minimo sull'insieme di definizione
.
Teorema (Principio del massimo)
Sia
armonica.
aperto e limitato. Allora:

- Se
è connesso ed esiste
tale che
allora
è costante in
.
Dimostrazione
Se la seconda conseguenza è verificata lo è anche la prima, quindi verifichiamo solo la seconda.
La dimostrazione è per assurdo. Supponiamo che
tale the
. Prendiamo
tale che
. Se
è il massimo significa che:

Ma per il teorema della media non può essere minore, solo uguale. Quindi

deve essere costante ed uguale a

in tutta la palla.
Procediamo ora per connessione: Considero un punto
, anche
che per ipotesi è un massimo, quindi posso creare una nuova palla e concludere di nuovo che
è costante in tutta la palla. Siccome l'insieme è connesso posso raggiungere tutti i punti di
con questo metodo dimostrando che la funzione
è costante in tutto l'insieme. Quindi se una funzione armonica ha massimo, questo è situato sulla frontiera del dominio, altrimenti la funzione è costante.