Principio del massimo

Le funzioni armoniche possiedono importanti proprietà anche per quanto riguarda il massimo e il minimo sull'insieme di definizione $\Omega$ $\Omega$ .

Teorema (Principio del massimo)

Sia $u\in C^{2}(\Omega )\cap C^{0}({\bar {\Omega }})$ $u \in C^2(\Omega)\cap C^0(\bar{\Omega})$ armonica. $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ aperto e limitato. Allora:

${\underset {x\in {\bar {\Omega }}}{max}}\;u(x)={\underset {x\in \Omega }{max}}\;u(x)$ $\underset{x \in \bar{\Omega}}{max} \; u(x) = \underset{x \in \Omega}{max}\;u(x)$
Se $\Omega$ $\Omega$ è connesso ed esiste $x_{0}\in \Omega$ $x_0 \in \Omega$ tale che ${\underset {x\in {\bar {\Omega }}}{max}}\;u(x)=u(x_{0})$ $\underset{x \in \bar{\Omega}}{max} \; u(x) = u(x_0)$ allora $u$ $u$ è costante in $\Omega$ $\Omega$ .

Dimostrazione

Se la seconda conseguenza è verificata lo è anche la prima, quindi verifichiamo solo la seconda.

La dimostrazione è per assurdo. Supponiamo che $\exists x_{0}\in \Omega$ $\exists x_0 \in \Omega$ tale the $M=u(x_{0})={\underset {x\in {\bar {\Omega }}}{max}}\;u(x)$ $M = u(x_0) = \underset{x \in \bar{\Omega}}{max} \; u(x)$ . Prendiamo $r$ $r$ tale che $o<r<dist(x_{0},\partial \Omega )$ $o <r<dist(x_0, \partial \Omega)$ . Se $M$ $M$ è il massimo significa che:

M = u(x_0) = \oint_{B(x_0,r)} u(y)dy \leq M

Ma per il teorema della media non può essere minore, solo uguale. Quindi

u

deve essere costante ed uguale a

M

in tutta la palla.

Procediamo ora per connessione: Considero un punto $x_{1}\in B(x_{0},r)$ $x_1 \in B(x_0,r)$ , anche $u(x_{1})=M$ $u(x_1)=M$ che per ipotesi è un massimo, quindi posso creare una nuova palla e concludere di nuovo che $u$ $u$ è costante in tutta la palla. Siccome l'insieme è connesso posso raggiungere tutti i punti di $\Omega$ $\Omega$ con questo metodo dimostrando che la funzione $u$ $u$ è costante in tutto l'insieme. Quindi se una funzione armonica ha massimo, questo è situato sulla frontiera del dominio, altrimenti la funzione è costante.