Proprietà della trasformata di Fourier

Le principali proprietà della trasformata di Fourier sono riassunte dal seguente

Teorema (1)

Siano . Allora valgono le seguenti proprietà

  1. La trasformata di Fourier conserva i prodotti scalari, e dunque le norme in spazi di Hilbert:
  1. , multiindice tale che
  1. La trasformata di Fourier di una convoluzione è il prodotto delle trasformate di Fourier. Ovvero, date e si ha che
  2. Proprietà di inversione: ogni funzione è l'antitrasformata della sua trasformata. Ovvero
 


Dimostrazione
  1. . Questa uguaglianza tra norme può essere scritta esplicitamente come:
    Da cui si ottiene che combinati linearmente danno proprio il punto 1 del teorema.
  1. Sia , allora:
    Nello spostare l'azione di su si è effettuata un'integrazione per parti, in cui i termini di bordo tendono a zero a grazie al supporto compatto di .
  1. Si ha che
  2. Si può osservare che se allora
    Dunque, essendo , si ha che
 
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