La trasformata di Fourier

Per la risoluzione delle equazioni introdotte all'inizio del corso è necessario introdurre un nuovo strumento di calcolo: la trasformata di Fourier. Innanzi tutto si nota che presa la funzione , la sua derivata rispetto alla componente ha un comportamento piuttosto particolare, infatti:

Ovvero, la derivata parziale si comporta in maniera molto semplice e si osserva che rispetto ad essa la funzione è in realtà una autofunzione, con autovalore associato pari a . Consideriamo ora un elemento , , che corrisponde ad una stringa di numeri che chiameremo multiindice. La quantità
Si dice modulo del multiindice . Inoltre si ha che:
La notazione dei multiindici è estremamente importante in analisi matematica, ed è utilizzata per indicare particolari elementi, le derivate parziali e gli operatori differenziali[1]:

Esempio

Un esempio di operatore differenziale agente su :

 


Prendiamo ad esempio il laplaciano: esso è un operatore differenziale di quelli appena definiti. Dunque, posto , si ha:

Quindi (onde piane) sono particolari autofunzioni dell'operatore laplaciano; le sfruttiamo per definire , combinazione lineare di onde piane:
L'integrale sopra definito altro non è che la trasformata di Fourier di . Applichiamo l'operatore alla :

Dunque l'effetto di è unicamente quello di modificare il peso di da a . Nel caso in cui si ha che:
  1. Nell'esempio qui proposto rappresenta un polinomio differenziale, il massimo ordine di derivazione e degli opportuni coefficienti complessi, non necessariamente costanti.
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