L'equazione del calore con Fourier

Nei capitoli precedenti è stata data una panoramica introduttiva riguardo alla teoria sulla trasformata di Fourier. Si è anche detto che essa è uno strumento estremamente importante nello studio dei problemi al bordo. In questo capitolo (e nei due seguenti) verranno illustrati degli esempi in cui l'uso della trasformata di Fourier è fondamentale per la determinazione esplicita delle soluzioni delle equazioni delle onde e del calore.

Proviamo a risolvere l'equazione del calore

Ricordando che l'operatore si "comporta bene" con la trasformata di Fourier, cerchiamo un'equazione per la trasformata di Fourier spaziale di .
Otteniamo un'equazione differenziale ordinara del primo ordine:
La cui soluzione è una gaussiana:
Quindi per trovare la soluzione nelle coordinate spaziali dobbiamo applicare l'antitrasformata di Fourier:
Possiamo usare la proprietà della convoluzione poichè sappiamo che:
Quindi usando:
Esplicitando la convoluzione si ottene la formula risolutiva:
Che definisce la soluzione dell'equazione del calore in ogni dimensione.

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