Definizione della trasformata di Fourier

Dopo una breve introduzione, vogliamo definire il concetto di trasformata di Fourier. Essa viene definita naturalmente per funzioni di classe ma, come si vedrà nel corso di questo capitolo, risulta piuttosto delicata l'estensione allo spazio , che tuttavia è quello di maggior interesse essendo anche spazio di Hilbert.

Teorema (1)

Sia . Definiamo trasformata di Fourier di la quantità

Definiamo antitrasformata di Fourier la quantità

 


Gli integrali che definiscono la trasformata e l'antitrasformata di Fourier altro non sono che degli integrali di Fourier con un'opportuna costante di normalizzazione. Quella usata nella nostra definizione è solo una delle possibili ed è una delle più comuni in fisica. Sappiamo quindi che la trasformata (l'antitrasformata) di Fourier è una mappa che manda . Tuttavia è bene chiedersi quale sia la sua immagine.

Teorema (2 Di Plancherel)

Sia a quadrato integrabile. Allora

 


Lo spazio è uno spazio di Hilbert[1], quindi e sono isometrie. Si tenga presente che la trasformata di fourier in realtà è definita su e dunque è necessario, per poter rimanere nel campo di validità del teorema appena enunciato, estenderla a . Questa estensione si può fare lavorando in un particolare spazio detto spazio di Schwarz.

Osservazione (1)

Sia . Definiamo una successione tale che

Ovvero
Allora per questa successione è ben definita la trasformata di Fourier, perché ogni elemento della stessa sta in . Inoltre si ha che
Dal momento che ed essendo uno spazio di Hilbert, e dunque anche di Banach, si ha che
Questo ci porta a concludere che la successione è una successione di Cauchy. In realtà, in virtù dell'uguaglianza scritta qui sopra si ha che pure la successione è di Cauchy. Dunque essa dovrà convergere a una certa funzione che per definizione chiameremo trasformata di Fourier di . Stiamo procedendo per "densità": è fondamentale sapere che quelle che usiamo sono isometrie per poter concludere che è una successione di Cauchy.

 


Possiamo dunque definire la trasformata di Fourier in

Teorema (3)

Sia , si definisce trasformata di Fourier di in la quantità

 


Il limite che definisce la trasformata su non è un limite puntuale, ma un limite in media. La trasformata di Fourier è un'isometria di in sé stesso.

Teorema (4)

Calcoliamo la trasformata di Fourier di una gaussiana. Sia . Dalla definizione abbiamo che:

Detta , si ha che
Derivando rispetto a si ottiene:
Dunque deve soddisfare la seguente equazione differenziale del primo ordine:
La cui soluzione è
Più precisamente, notando che , si ha che

Ovvero che la trasformata di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana.

 


Se la gaussiana non avesse varianza 1, ma un valore arbitrario, poco cambierebbe. Più precisamente, se , avremmo che

Chiaramente la nostra definizione non è per nulla restrittiva e segue in maniera naturale la sua estensione a . Sempre con l'esempio della gaussiana avremmo che (notazione dei multiindici), e la sua trasformata di Fourier sarebbe

  1. Per altro l'unico degli ad essere spazio di Hilbert.
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