Considerazioni sull'energia delle onde

In questo capitolo si riprendono alcuni risultati riguardanti l'energia per le soluzioni dell'equazione delle onde quali: conservazione, equipartizione e unicità. In particolare si utilizzeranno la trasformata di Fourier e le sue proprietà per provare che l'energia è una costante di moto.

Innanzi tutto si ha la conservazione dell'energia:

Teorema (Conservazione dell'energia)

Sia soluzione dell'equazione delle onde. Detta

L'energia cinetica dell'onda, e detta
La sua energia potenziale. Si ha che l'energia totale dell'onda è costante sulle soluzioni dell'equazione delle onde:

 


Dal precedente teorema segue immediatamente anche l' equipartizione dell'energia:

Teorema (Equipartizione dell'energia)

Sia soluzione dell'equazione delle onde e sia la sua energia. Allora si ha che

 


Da questi due risultati segue l'unicità dell'energia della soluzione dell'equazione delle onde

Dimostrazione

Siano due soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione delle onde:

Sia ora . Essa soddisferà il problema di Cauchy:
Dunque si ha che , ma essendo l'energia una costante di moto dovrà essere che . Segue che:

 
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