Soluzioni limitate dell'equazione di Poisson

Nel capitolo precedente si è ricavata un'espressione per le soluzioni dell'equazione di Poisson. Ora ci si chiede se la forma trovata sia l'unica espressione che una soluzione dell'equazione di Poisson può avere. La risposta a questa domanda è data dal seguente teorema

Teorema (1)

Sia tale che . Allora tutte le soluzioni limitate dell'equazione di Poisson sono della forma:

 


Abbiamo già provato nel capitolo precedente che una funzione della forma risolve l'equazione di Poisson, quindi chiaramente la forma analitica data per qui sopra, essendo semplicemente una traslazione della soluzione dell'equazione di Poisson, sarà anche essa soluzione. Dimostriamo ora che essa è anche limitata e che tutte le soluzioni devono avere la forma data dal teorema appena enunciato.

Dimostrazione

Si ha che:

Si ha quindi che è limitata ed è soluzione dell'equazione di Poisson. Occorre ora provare che tutte le soluzioni hanno la forma di cui parla il teorema. Per farlo si consideri , dove è quella appena trovata e è una generica soluzione dell'equazione di Poisson. Chiaramente, per costruzione, è una funzione armonica ed è pure limitata pertanto, dal teorema di Liouville, segue che essa è pure costante.Segue quindi che tutte le soluzioni limitate dell'equazione di Poisson, hanno forma:

 
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