Le soluzioni dell'equazione di Poisson

Abbiamo visto che le soluzioni fondamentali del laplaciano possono essere scritte nella forma:

Esse sono chiaramente funzioni armoniche in e sono funzioni radiali. Si è anche osservato che , fissato ma arbitrario, è una funzione armonica in . Allo stesso modo, anche le funzioni sarà armonica in e similmente per una qualsiasi combinazione lineare di funzioni armoniche fondamentale. Ci si può chiedere che cosa accade quando si passa al continuo, ovvero se anche
È una funzione armonica. Innanzi tutto si nota che essa, in dove assume la forma , rappresenta la forma di un potenziale elettrostatico/gravitazionale di una distribuzione di massa/carica . In generale essa però non è una funzione armonica, ma soddisferà l'equazione di Poisson come afferma il seguente teorema:

Teorema (1)

Sia e sia

Allora:

  • risolve l'equazione di Poisson
 


Premettiamo alla dimostrazione del teorema il seguente importante lemma:

Lemma (2)

Sia , allora si ha che:

 


Dimostrazione

Si osserva che l'integrale di cui parla il lemma può essere riscritto dividendo l'insieme di integrazione, come segue:

Calcoliamo l'integrale : Se si ha che e quindi:
Se invece si ha che:
Si ha quindi che , e pertanto l'unico contributo al calcolo dell'integrale che stiamo svolgendo sarà dato da . Per si ha che, utilizzando la seconda formula di Green, compariranno dei termini di bordo a che però si annulleranno perchè si stanno considerando funzioni armoniche e funzioni a supporto compatto. Pertanto si ha:
Chiamiamo rispettivamente i due addendi in cui è stato scomposto . Calcoliamo : per farlo è necessario ricavare la derivata normale di :
Da cui segue che:
Per quanto riguarda il contributo di invece si ha che:
Si conclude quindi che per si ha:

 


La proprietà appena dimostrata vale anche per traslazioni, ovvero:

Sfruttando questa proprietà è possibile dimostrare il teorema:

Dimostrazione

Per dimostrare che si procede in modo analogo a quanto fatto per provare che usata nel teorema di Liouville era . Proviamo quindi che risolve l'equazione di Poisson. Abbiamo che:

Quindi
Ovvero, risolve l'equazione di Poisson.

 

Si è messo in luce un comportamento piuttosto singolare e importante delle soluzioni fondamentali del laplaciano. Infatti si è notato come, nel passaggio al continuo, esse risolvano l'equazione di Poisson. Ci si può ora chiedere, e sarà oggetto del prossimo capitolo la risposta a questa domanda, se le soluzioni trovate ora per l'equazione di Poisson siano uniche o se si possano avere altre soluzioni.

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