Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche

In questo capitolo ci si occuperà di dare una caratterizzazione delle funzioni che risolvono l'equazione di Laplace, anche dette funzioni armoniche.

Definizione (Funzione armonica)

Sia e sia . La funzione è detta armonica se soddisfa l'equazione di Laplace, ovvero se:

 

Segue direttamente dalla definizione che ogni funzione armonica . Per capire quale sia la forma analitica di studiamo il caso monodimensionale e quello di dimensione :

  • Per il caso monodimensionale non si ricavano particolari informazioni. Infatti se si avrà che:
    Che significa semplicemente trovare:
  • Il caso è piuttosto interessante invece. Infatti sarà possibile osservare che, in virtù dell'isomorfismo , vi è uno stretto legame tra funzioni olomorfe e soluzioni dell'equazione di Laplace, ovvero funzioni armoniche.

Si ricorda che se è olomorfa in essa coincide con il suo sviluppo di Taylor nell'intorno di un qualsiasi punto ed è di classe . Si potrà quindi scrivere e dovrà soddisfare le condizioni di Cauchy-Riemann:

Il legame tra funzioni olomorfe e funzioni armoniche di cui si parlava sopra è esplicitato dal seguente teorema:

Teorema

Sia una funzione olomorfa in . Allora e le funzioni sono armoniche in .

 
Dimostrazione

Per ipotesi è olomorfa, dunque soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann:

Derivando rispetto a la prima equazione e rispetto a la seconda si ottiene:
Sottraendo membro a membro:
Quindi , ovvero è armonica in . Dove si può concludere che in virtù del teorema di Schwarz, essendo . Analogamente, derivando la prima delle equazioni di Cauchy-Riemann rispetto a e la seconda rispetto a , si può provare che anche è armonica in .

 


Soluzioni fondamentali radiali del Laplaciano[modifica | modifica wikitesto]

Un'importante semplificazione nello studio delle funzioni armoniche si ottiene andando a considerare funzioni armoniche radiali. In si considerano le funzioni armoniche tali per cui è vero che:

Da definizione si ha che deve essere . Si nota che il passaggio alle funzioni armoniche radiali può far sorgere dei problemi in , pertanto (almeno preliminarmente) si richiede che . Dovendo lavorare con funzioni radiali è necessario derivare l'espressione per il laplaciano:
In definitiva:
La cosa interessante che si nota è che il passaggio alle funzioni armoniche radiali consente di riscrivere l'equazione di Laplace come un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine:
Da cui si ricava integrando una volta:
Integrando di nuovo e tornando in si ricavano le soluzioni fondamentali del laplaciano in :

In genere si utilizzano questi parametri (soprattuto nei problemi di elettromagnetismo):

L'oggetto di studio dei prossimi capitoli dunque saranno le funzioni armoniche, le loro proprietà e la risoluzione esplicita delle equazioni di Laplace e di Poisson.

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