Formule di Green

Da questo punto in poi, per buona parte del corso, ci si occuperà della terza delle equazioni presentate inizialmente, ovvero l' equazione di Laplace:

Si studieranno anche alcune proprietà di una equazione strettamente legata a quella appena scritta, ovvero l' equazione di Poisson:
Di entrambe le equazioni si è interessati a determinare le equazioni su un aperto . Se è limitato, si potrà inoltre assumere che sia regolare. Iniziamo col presentare delle formule di importanza fondamentale per il resto della trattazione: le formule di Green.

Teorema (Di Gauss-Green)

Sia . Allora:

 

Come diretta conseguenza del teorema di Gauss-Green si ha la formula di integrazione per parti in :


Sia , allora si ha la formula di integrazione per parti per funzioni a valori vettoriali, nota anche come teorema della divergenza:

Teorema (Della divergenza)

Sia . Allora:

 

Sfruttando i teoremi appena enunciati è possibile scrivere le formule di Green. Più precisamente siano e , allora è un campo vettoriale di classe . La sua divergenza è data da:

Integrando su e applicando il teorema della divergenza si ottiene:
Da cui si ha la prima formula di Green:


Se, al contrario, si avesse che si potrebbe scrivere:

Supponendo che e sottraendo membro a membro l'espressione ottenuta con la prima formula di Green si ottiene la seconda formula di Green:


Simmetria del Laplaciano[modifica | modifica wikitesto]

Definiamo il dominio del laplaciano di Dirichlet:

Dalla seconda formula di Green si ricava che il laplaciano di Dirichlet è simmetrico, essendo il lato destro dell'uguaglianza che la definisce nullo:

In maniera analoga si osserva che anche il laplaciano di Neumann, definito su:

E il laplaciano di Robin, definito su:
Sono simmetrici.

Le considerazioni fatte in questo capitolo sono di fondamentale importanza per la trattazione dell'equazione di Laplace e per la sua risoluzione. Nei prossimi capitoli ci si occuperà di una particolare classe di funzioni, soluzioni dell'equazione di Laplace: le funzioni armoniche.

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