L'equazione di Fourier

Nei capitoli precedenti abbiamo ricavato l'equazione delle onde nel caso monodimensionale. Ci chiediamo come sia possibile ricavare, sempre applicando delle opportune ipotesi e semplificazioni, l'equazione del calore nel caso monodimensionale:

Si supponga che il sistema studiato sia caratterizzato da una quantità tale da soddisfare l'equazione di continutià:

Integrando su un volume e applicando il teorema della divergenza si ottiene:
Dal momento che l'equazione del calore, soprattutto nel caso n-dimensionale, rappresenta un'equazione di diffusione, si assume che:
L'equazione di continuità può essere riscritta come:
In realtà, il campo di velocità non è noto e non si possono fare delle ipotesi su di esso; pertanto è necessario introdurre un'ipotesi per poter fissare il valore di . Tale ipotesi va sotto il nome di legge di Fick ed è rappresentata da:
A livello macroscopico la legge di Fick definisce una quantità , che si oppone alla concentrazione, direttamente proporzionale al gradente della densità di soluto . Usando la legge di Fick, è possibile riscrivere l'equazione di cui sopra come:
Da cui segue l' equazione di Fourier per la diffusione:

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