Considerazioni sull'inversione temporale

Nella derivazione dell'equazione del calore si è sottolineato come il modus operandi che si è adottato fosse totalmente differente da quello adottato per ricavare l'equazione delle onde. In questo capitolo si osserva una seconda differenza, ancor più profonda, tra queste due equazioni.

Siano:

Si consideri la funzione , ovvero la funzione che si ottiene dall'azione dell'operatore di inversione temporale su . Si supponga inoltre che sia soluzione dell'equazione delle onde, piuttosto che di quella del calore. Andiamo a studiare che cosa si può dire per :

  • Si supponga come primo caso che sia soluzione dell'equazione delle onde. Ci si chiede se pure lo sia, ovvero se:
    L'azione dell'operatore laplaciano sarà la stessa sia su che su dal momento che nella parte spaziale le due funzioni coincidono. Inoltre:
    Si può dunque concludere che l'equazione delle onde è invariante per inversione temporale.
  • Come secondo caso si supponga che sia soluzione dell'equazione del calore. Per ora si ha un comportamento differente. Pur continuando a valere , ora si ha una sola derivata parziale rispetto alla variabile . Ciò significa che se risolve l'equazione del calore, per la sua inversione temporale, ovvero , si avrà che:
    Si può dunque concludere che l'equazione del calore non è invariante per inversione temporale.

La conclusione di questo capitolo è ora piuttosto evidente: mentre l'equazione delle onde è invariante per inversione temporale e dunque descrive un processo reversibile, quella del calore non lo è, pertanto si è portati a concludere che essa descriva un processo irreversibile. È bene chiedersi dove si sia introdotta, a livello deduttivo, questa irreversibilità. La risposta va cercata in due assunzioni fatte, ovvero:

  • Si è assunto che fosse assimilabile alla concentrazione;
  • Si è assunta valida la legge di Newton-Fourier.

In definitiva si osserva anche che il modello deduttivo che viene seguito nel derivare un'equazione (differenziale alle derivate parziali) che descriva un fenomeno fisico ne influenza pesantemente le proprietà.

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