Considerazioni sull'inversione temporale

Nella derivazione dell'equazione del calore si è sottolineato come il modus operandi che si è adottato fosse totalmente differente da quello adottato per ricavare l'equazione delle onde. In questo capitolo si osserva una seconda differenza, ancor più profonda, tra queste due equazioni.

Siano:

$${\begin{cases}u_{tt}-\Delta u=0,{\text{ equazione delle onde}}\\u_{t}-\Delta u=0,{\text{ equazione del calore}}\end{cases}}$$

$$\begin{cases} u_{tt}-\Delta u=0,\text{ equazione delle onde}\\ u_t-\Delta u =0, \text{ equazione del calore} \end{cases}$$

Si consideri la funzione $v(x;t)=u(x;-t)$$v(x;t)=u(x;-t)$, ovvero la funzione che si ottiene dall'azione dell'operatore di inversione temporale su $u(x;t)$$u(x;t)$. Si supponga inoltre che $u(x;t)$$u(x;t)$ sia soluzione dell'equazione delle onde, piuttosto che di quella del calore. Andiamo a studiare che cosa si può dire per $v(x;t)$$v(x;t)$:

• Si supponga come primo caso che $u(x;t)$$u(x;t)$ sia soluzione dell'equazione delle onde. Ci si chiede se pure $v(x;t)$$v(x;t)$ lo sia, ovvero se:
  $$v_{tt}-\Delta v=0$$

  $$v_{tt}-\Delta v=0$$
  L'azione dell'operatore laplaciano sarà la stessa sia su $v(x;t)$$v(x;t)$ che su $u(x;t)$$u(x;t)$ dal momento che nella parte spaziale le due funzioni coincidono. Inoltre:
  $$v_{t}={\frac {\partial }{\partial t}}(u(x;-t))=-u_{t}\Rightarrow v_{tt}=\partial _{t}v_{t}=u_{tt}$$

  $$v_t=\frac{\partial}{\partial t}(u(x;-t))=-u_t \Rightarrow v_{tt}=\partial_t v_t=u_{tt}$$
  Si può dunque concludere che l'equazione delle onde è invariante per inversione temporale.
• Come secondo caso si supponga che $u(x;t)$$u(x;t)$ sia soluzione dell'equazione del calore. Per $v(x;t)$$v(x;t)$ ora si ha un comportamento differente. Pur continuando a valere $\Delta u=\Delta v$$\Delta u=\Delta v$, ora si ha una sola derivata parziale rispetto alla variabile $t$$t$. Ciò significa che se $u(x;t)$$u(x;t)$ risolve l'equazione del calore, per la sua inversione temporale, ovvero $v(x;t)$$v(x;t)$, si avrà che:
  $$v_{t}-\Delta v=-u_{t}-\Delta u\neq 0$$

  $$v_t-\Delta v=-u_t-\Delta u\neq 0$$
  Si può dunque concludere che l'equazione del calore non è invariante per inversione temporale.

La conclusione di questo capitolo è ora piuttosto evidente: mentre l'equazione delle onde è invariante per inversione temporale e dunque descrive un processo reversibile, quella del calore non lo è, pertanto si è portati a concludere che essa descriva un processo irreversibile. È bene chiedersi dove si sia introdotta, a livello deduttivo, questa irreversibilità. La risposta va cercata in due assunzioni fatte, ovvero:

• Si è assunto che $J$$J$ fosse assimilabile alla concentrazione;
• Si è assunta valida la legge di Newton-Fourier.

In definitiva si osserva anche che il modello deduttivo che viene seguito nel derivare un'equazione (differenziale alle derivate parziali) che descriva un fenomeno fisico ne influenza pesantemente le proprietà.