L'equazione delle onde sul disco

Iniziamo con lo studio di un esempio:

Esempio

Vogliamo risolvere l'equazione delle onde sul disco circolare di raggio , con condizioni al contorno di Dirichlet. Questo esempio modellizza il tamburo. Dunque abbiamo:

Il corrispondente problema agli autovalori per il laplaciano sul disco, con condizioni al bordo di Dirichlet, sarà:

 


Separando le variabili avremo che:

Studiamo quindi autovalori e autovettori sul disco. Per simmetria di , scriviamo in coordinate polari. Questo ci porterà a dover effettuare la sostituzione e ad avere . Anche nelle variabili angolari è possibile separare le variabili, così da poter scrivere: . La corrispondente equazione agli autovalori diventa:
Che può essere riscritta nella forma:
Dove l'ultima uguaglianza deriva dalla necessità di dover avere entrambi i termini dell'equazione uguali ad una costante, essendo dipendenti da variabili separate. L'equazione in ci porta a: . Stiamo cercando soluzioni periodiche di periodo , dunque ci aspettiamo tre casi:
In definitiva:
Che ha periodo di se e solo se . L'equazione in ci porta a: per . Le soluzioni di questa equazione differenziale devono soddisfare due importanti proprietà: occorre che e che sia soddisfatta la condizione al bordo . Dobbiamo aggiungere questa condizione perchè le soluzioni del laplaciano è regolare, di classe dunque non divergeranno mai nell'origine. La singolarità deriva da una singolarità "fittizzia" data dal passaggio in polari, tuttavia era già contenuta implicitamente nel problema di partenza. Di sappiamo che è positivo, perchè autovalore di , quindi facciamo un cambio di coordinate tale per cui . Tramite questo riscalamento di variabili otteniamo una nuova equazione per :
Le soluzioni di questa equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti non costanti hanno una forma particolare, essendo dei reciproci di monomi. Mi aspetterei dunque di trovare delle soluzioni proporzionali a monomi o a potenze, tuttavia non è possibile farlo in questo caso. Cerchiamo dunque soluzioni per serie, della forma:
Dove i valori di e vanno determinati. Presa in questa forma e sostituita nell'equazione differenziale di cui sopra si ottiene:
Dove impongo che i coefficienti dello stesso grado siano nulli, per poter ottenere una soluzione nulla. Si ha che se , : ma, per ipotesi, ; dunque , ma non potendo divergere in zero la soluzione, deve necessariamente essere . Le altre due relazioni che si ottengono sono:
Dalla \ref{2}, si ottiene ; mentre dalla \ref{3} si ottiene , . In definitiva si ha che, l'unica soluzione regolare dell'equazione di Bessel è data da
Per cui si ha che se , che è una funzione oscillante; per fissato, all'infinito oscilla ancora e quindi è una soluzione con infiniti zeri. Tornando al problema originario del laplaciano sul disco, abbiamo ora la possibilità di affermare che:
Tuttavia il valore di è ancora impregiudicato: sappiamo soltanto che deve essere un autovalore. Per determinarlo imponiamo la condizione al bordo, ovvero richiediamo che . Dunque ho che i valori di ammissibili sono tutti quei tali che . La soluzione generale dell'equazione delle onde pertanto sarà data da:

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