Dipendenza dai dati iniziali

Abbiamo risolto 2 problemi:

  • Abbiamo trovato le soluzioni periodiche dell'equazione differenziale
  • Abbiamo trovato le soluzioni dell'equazione di Bessel, cercando le soluzioni di sul disco.

Se vogliamo cercare la classe di funzioni armoniche omogenee di grado troviamo:

Riformuliamo il problema in 3 dimensioni passando in coordinate polari e riscrivendo l'equazione agli autovalori. Cerchiamo soluzione armoniche omogenee di grado . Sostituendo nell'equazione appena scritta per si trova:
Dunque dobbiamo risolvere:
Si ritrova una risultato analogo in un altro problema importante, quello della palla di centro zero e raggio ; ovvero quando . Anche nel caso della risoluzione dell'equazione di Schrdinger per l'atomo di idrogeno ci si trova a risolvere
Per la parte angolare abbiamo l'azione dell'operatore che ci permette di determinare le autofunzioni in , anche dette armoniche sferiche.

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