Considerazioni sull'energia cinetica

Sappiamo che i sistemi descritti dalle equazioni di moto dedotte dalle leggi cardinali della dinamica implicano, sotto alcune ipotesi, la definizione di una quantità conservata, detta energia. È opportuno chiedersi se vi sia un analogo per i fenomeni descritti da equazioni differenziali alle derivate parziali, come l'equazione delle onde appena dedotta.


Dalla seconda equazione di Newton:

Si può ricavare il valore dell'energia totale (meccanica) del sistema in maniera piuttosto naturale:
Dunque, per un sistema descritto da , esiste una quantità conservata, che verrà chiamata energia, definita da:
Ci chiediamo se qualcosa di simile possa valere per l'equazione delle onde in una dimensione:
Procedendo in modo analogo a quanto fatto per derivare l'espressione classica dell'energia si ha:
Riscrivibile come:
Occorre capire come trattare il secondo addendo. Si nota che:
E quindi è possibile riscrivere:
Quella appena ottenuta è un'equazione di continuità, nella quale è possibile identificare una densità di energia:
A cui è associato un flusso pari a:
È anche possibile definire la relazione di cui sopra in forma integrale, passando al continuo, ottenendo:
La densità di energia, o l'energia stessa se viene integrata sull'insieme di definizione del nostro problema, è una quantità conservata del sistema considerato nel caso in cui . Questa condizione si verifica per differenti condizioni al bordo, tutte applicabili all'equazione delle onde considerata. Esse sono:

  • Condizioni al bordo di Dirichlet, equivalenti al problema di una corda vibrante con estremi fissi:
  • Condizioni al bordo di Neumann:
  • Condizioni al bordo periodiche:
    Che equivalgono a studiare il problema dell'equazione delle onde su un cerchio (o su un toro in ).
Osservazione

Le condizioni al bordo di periodicità sono delle condizioni non locali, dal momento che mettono in relazione tra loro punti distanti del sistema.

 
Osservazione

È possibile definire delle condizioni al bordo più complesse, o comunque più generali, di quelle appena presentate. Un esempio sono le condizioni al bordo di Robin (o del terzo tipo):

 

Volendo descrivere un fenomeno non confinato, in una dimensione ciò significa che il fenomeno si estende su tutta la retta reale, continuerebbe a valere la conservazione dell'energia perchè è lecito supporre che le soluzioni siano tutte tali da svanire all'infinito. In generale è possibile enunciare la seguente proposizione:

Proposizione

Per ogni soluzione dell'equazione delle onde , valgono le seguenti proprietà:

  • Detta la densità di energia e detto il suo flusso, ovvero la densità di corrente di energia, vale che:
  • La relazione precedente vale anche nel passaggio al continuo:
  • L'energia è una quantità conservata del sistema quando il problema è definito con condizioni al bordo di Dirichlet, Neumann oppure periodiche.
  • La soluzione è di tipo classico, ovvero si richiede che sia . Nel caso unidimensionale appena considerato è sufficiente anche solo che .
 

Queste considerazioni a riguardo dell'energia mettono in evidenza come la risoluzione di un'equazione alle derivate parziali abbia delle proprietà che vanno oltre alla semplice estensione delle proprietà della soluzione di un'equazione differenziale ordinaria.

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