Richiami sulla teoria operatoriale

Per completezza, in questo capitolo ci si occuperà di richiamare alcune delle principali nozioni legate alla teoria degli operatori.

Innanzi tutto è bene inquadrare il problema: si lavorerà su spazi di Hilbert separabili sul campo ( o ). Sia una varietà lineare densa in . Sia un operatore lineare; da definizione si ha che:

Nel caso infinito dimensionale può essere vero che e non coincidano anche se la varietà lineare è densa in . Si ha che se:

Allora può essere esteso a tutto , conservandone la limitatezza.

Teorema

Ogni operatore limitato in è anche continuo e viceversa.

 

Se un operatore è limitato si avrà che:

Passando all'estremo superiore, si definisce norma di un operatore la quantità:

Definizione

Dato un operatore , si definisce operatore aggiunto, nello spazio di Banach ottenuto dotando della norma indotta dalla definizione di cui sopra, l'operatore tale che:

 

In virtù del teorema di Riesz è possibile concludere che esiste sempre, ed è limitato, l'aggiunto di un operatore lineare e limitato.

Dimostrazione

Sia . Esso è un funzionale lineare limitato, infatti:

Da cui segue la limitatezza di . Si osserva anche che è prodotto scalare per un vettore, ovvero si può scrivere:
Per definizione allora , cioè l'aggiunto di

 
Definizione (Operatore simmetrico)

Un operatore è detto simmetrico se coincide con il suo aggiunto:

 


Definizione (Operatore autoaggiunto)

Si definisce operatore autoaggiunto un operatore lineare, limitato e simmetrico.

 


Tornando per un momento a quanto fatto nel capitolo precedente, ovvero la risoluzione del problema di Sturm-Liouville per inversione, si ha la seguente osservazione:

Osservazione

Il passaggio da a permette di passare da un operatore di derivazione, dunque non limitato, ad un operatore integrale che quindi è limitato e simmetrico.

 


Definizione (Operatore compatto)

Un operatore su si dice compatto se manda limitati in precompatti. Ovvero se , successione limitata su , la successione ammette una sottosuccessione convergente in .

 

Come conseguenza diretta di ciò si ha che ogni operatore compatto è anche limitato e il prodotto di un operatore limitato con uno compatto è ancora compatto.

Lemma

Sia un operatore simmetrico e compatto su allora esso ammette un autovalore che coincide con la sua norma:

 


In genearale si ha che ogni operatore (limitato) ha per autovalori dei numeri compresi tra e :

Sfruttando questi due risultati si può concludere un'importante proprietà che è riassunta dalla seguente proposizione:

Proposizione

Sia simmetrico e compatto, allora tale che . Sia l'autovettore di , con autovalore corrispondente . Si costruisca lo spazio di Hilbert siffatto:

Si consideri la restrizione di a : continuerà ad essere simmetrico, compatto, lineare e limitato. Pertanto anche per questa restrizione di esisterà un certo tale da soddisfare . Iterando questo processo si potrebbe creare , prendere la restrizione di a questo nuovo spazio di Hilbert e trovare l'autovalore . Questo processo iterativo porterebbe alla costruzione di una successione di autovalori e alla corrispondente successione di autovettori . Per costruzione tutti gli saranno tra loro ortogonali e sarà dunque possibile concludere che la successione costituisce un sistema ortonormale.

 


Teorema

Sia uno spazio di Hilbert e sia un operatore simmetrico e compatto su . Allora esiste una successione di autovalori per tale che:

I corrispondenti autovettori costituiscono un sistema ortonormale completo in e vale che:
Dove .

 
Dimostrazione

È già stata provata l'esistenza delle due successioni e . Si supponga, per assurdo, che la successione degli autovalori non tenda a zero per che tende all'infinito. Si può dunque costruire la successione dei siffatti:

Questa successione è limitata per chè e perchè, per ipotesi di assurdo, il limite di non è zero. La successione è compatta, dunque:
Dunque non converge e quindi si deve concludere, contro l'ipotesi di assurdo, che:
Sia ora , si ha che:
Sapendo che che per , , si coclude:
Dalla continuità di segue che , che significa che . Dunque, detto si ha che:

 
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