Operatore di Hilbert-Schmidt

Nei capitoli precedenti abbiamo visto che il problema della risoluzione di può essere pensato come un problema di inversione dell'operatore e, usando questa interpretazione, ottenere la funzione di Green per l'operatore di Sturm-Liouville:

Questa strategia risolutiva in realtà è un caso particolare, ottenuto partendo da una forma molto più generale:
Con compatto in e . L'operatore appena scritto prende il nome di operatore di Hilbert-Schmidt. Il seguente teorema da una caratterizzazione più dettagliata di questo operatore:

Teorema

Sia continua in e sia . Allora:

  • è compatta;
  • Se è continua e ;
  • Se , ovvero se il nucleo integrale dell'operatore di Hilbert-Schmidt è simmetrico, allora è simmetrica in .
 
Dimostrazione

Sia . Dalla disuguaglianza di Holder segue che:

È dunque possibile controllare una norma in , cioè quella di , con una norma su un limitato di , cioè quella di . Sia ora , con uniformemente continua su . Dunque si ha che:
Dunque si ha che:
Si è dunque provato che è continua; in realtà si osserva che essa è uniformemente continua, dunque si ha:
È dunque possibile concludere che:
Ovvero che è limitato.

Si consideri ora una famiglia di funzioni limitate su . Sia , con indipendente da . Dalle disuguaglianze scritte sopra discende che è una famiglia equilimitata nello spazio delle funzioni continue e che è equicontinua. Dal teorema di Ascoli-Artzelà è possibile concludere che converge in , e quindi anche in . Dunque è limitata in ; il che implica che è una famiglia equilimitata ed equicontinua in e dovrà ammettere una sottosuccessione uniformemente convergente in stesso e perciò anche in . Pertanto si ha:

Dunque se è una successione limitata in la corrispondente ammette sottosuccessione convergente in -

Per concludere si vuole dimostrare che se allora è simmetrico. Si ha che:

Da cui segue non solo che è simmetrico e compatto, ma anche che (in virtù del teorema spettrale) esso ammette una successione di autovalori reali convergente a zero e la corrispondente successione di autovettori forma un sistema ortonormale completo su .

 
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