Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville

Ci si vuole occupare della risoluzione del problema di Sturm-Liouville. Innanzi tutto si nota che esso può essere scritto in forma generica come:

Quindi, risolvere il problema di Sturm-Liouville significa essere in grado di risolvere l'equazione differenziale . Si nota però che la risoluzione di un'equazione non è altro che un problema di inversione. Più precisamente, nel caso in esame, si tratterà di essere in grado di invertire l'operatore per poter scrivere:
Chiaramente, affiché quanto appena detto sia fattibile, occorre che . Pertanto si studierà il problema di cui sopra con l'ipotesi preliminare che non abbia autovalore nullo.

Ora che si è inquadrato il problema, possiamo procedere con la sua risoluzione. Innanzi tutto si considerino soluzioni distinte dei due problemi con condizioni al bordo date da:

È possibile che esistano due soluzioni che soddisfano queste condizioni, a patto di prenderle tra loro linearmente indipendenti. Se non fossero linearmente indipendenti, allora dovrebbero essere una multiplo dell'altra e soddisfare contemporaneamente le condizioni al bordo, ma questa richiesta sarebbe equivalente ad ammettere che abbia autovalore nullo, caso che escludiamo per ipotesi preliminare. Siano dunque linearmente indipendenti. Il wronskiano dell'equazione differenziale di secondo ordine associata al problema per è dato da:
Si consideri il seguente lemma:

Lemma

Dato l'operatore di Sturm-Liouville , e dato il problema al bordo sull'intervallo ad esso associato si ha che:

Dove è il determinante wronskiano dell'equazione differenziale (equazione agli autovalori) di secondo ordine associata all'azione di .

 
Dimostrazione

Si ha che dal momento che:

Dunque .

 

Sfruttiamo il risultato del lemma per risolvere come equazione differenziale, usando il metodo di variazione delle costanti. Si ha che:

Da cui si ricavano i seguenti valori per :
Da cui è possibile ricavare i valori di integrando. Avendo osservato nel lemma che , gli integrali ne saranno indipendenti. Si ottiene:
Occorre determinare i valori delle costanti imponendo che soddisfi le condizioni al bordo. Si ottiene che esse sono soddisfatte se e solo se . La soluzione dell'equazione differenziale coincide con la soluzione della non omogenea, ottenuta per variazione delle costanti:
Generalmente la si riscrive come:
La funzione si chiama funzione di Green dell'operatore di Sturm-Liouville e coincide con il nucleo integrale di tale operatore. Si osserva quindi che partendo da e trattandolo come un problema di inversione si ottiene che:
Un'altra importante osservazione che è opportuno fare a questo punto è legata alla regolarità della funzione che si ottiene: partendo dall'azione di un operatore differenziale si è ottenuta una funzione che dipende dall'azione di un operatore integrale, quindi si può concludere che l'inversione del problema di Sturm-Liouville ritorna un risultato, i.e. una funzione, più regolare di quella di partenza.

Osservazione

L'operatore è un operatore lineare in e corrisponde all'inverso dell'operatore su se non è autovalore per l'operatore di Sturm-Liouville .

 
Osservazione

La funzione di Green è continua in

 

Collegandoci alla seconda delle due osservazioni appena fatto, è opportuno chiederesi anche che cosa si possa concludere sulla derivabilità di . Si può concludere che, oltre che continua, la funzione di Green dell'operatore di Sturm-Liouville è anche differenziabile su , tranne che sulla diagonale . Concludiamo questo capitolo con un'importante osservazione che lega autovalori e autovettori dell'operatore di Sturm-Liouville a quelli della funzione di Green ad esso associata.

Osservazione

Si è osservato che, partendo da è possibile trovare l'espressione esplicita di studiando questo come un problema di inversione. Torniamo ora al caso in cui l'equazione da risolvere sia proprio quella agli autovalori per , ovvero . In questo caso si avrà che:

Si definisca:
Si conclude quindi che, nell'ipotesi in cui , la coppia è coppia autovalore/autovettore per se e solo se la coppia è coppia autovalore/autovettore per .

 
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