Conclusioni

Torniamo al problema da cui siamo partiti:

Abbiamo osservato come questo problema si possa risolvere nella forma più generale . In quest'ottica diventa un'equazione differenziale ordinaria, che può essere risolta tramite l'inversione dell'operatore . Ovvero, supponendo che non sia autovalore di , si giunge a:
Avendo risolto esplicitamente questo problema, si è in grado di concludere che:
Con funzione di Green dell'operatore di Sturm-Liouville, data da:
Si è anche osservato che è una funzione continua, differenziabile su ma non sulla diagonale e simmetrica. Come operatore pertanto è simmetrico e compatto e, in virtù dell'ipotesi preliminare, non ammette autovalore nullo. Si è anche osservato che se è simmetrico e compatto, ammette un sistema ortonormale completo. Da ciò segue che anche ammette autovalori: essi saranno corrispondenti ai reciproci degli autovalori di con stessi autovettori. Questi autovettori, per altro comuni, dunque costituiranno un sistema ortonormale completo sullo spazio di Hilbert su cui si lavora.

Completiamo il discorso sull'operatore di Sturm-Liouville andando ad analizzare il caso, scartato per ipotesi, in cui . Innanzi tutto si osserva che è limitato dal basso, e dunque che:

Si ha che tutti gli autovalori di saranno maggiori, o al più uguali, a questo valore :
Segue quindi che esisterà sicuramente un numero reale che non sarà autovalore di . Definendo l'operatore si ha che esso conserva tutte le proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville, ma non ammetterà mai autovalore nullo. Possiamo quindi applicare tutta la teoria sviluppata per a trattandolo come una traslazione di . Tutti i risultati sino ad ora ottenuti continuano ad essere applicabili, col vantaggio che non può ammettere autovalore nullo: quindi viene risolto anche il problema iniziale per cui era necessario supporre . In definitiva, non avendo nemmeno problemi per l'autovalore nullo, è possibile concludere che l'operatore di Sturm-Liouville ammette sempre sistema ortonormale completo costituito dai suoi autovalori.

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