Proprietà generali

Sino ad ora ci siamo occupati prevalentemente dello studio di problemi al bordo, ad esempio:

Avevamo inoltre notato che i problemi al bordo studiati potevano in qualche modo essere ricondotti ad equazioni agli autovalori, per l'operatore di derivata seconda . Ora vogliamo ci si vuole occupare dello studio dei problemi agli autovalori per l'operatore laplaciano. Più precisamente vorremmo capire chi sono, e come si trovano, i numeri tali che:
Con condizioni al bordo di Dirichlet, di Neumann oppure di Robin.

Innanzi tutto si osserva che i problemi al bordo si possono ricondurre a problemi agli autovalori per l'operatore laplaciano quando si lavora su spazi limitati. Infatti, detta la soluzione (o presunta tale) dell'equazione , si ricava:

Che è esattamente un'equazione agli autovalori per l'operatore laplaciano. Un discorso simile vale anche per l'equazione di Schroedinger:
Posto si ottiene:
Detto , si ottiene l'equazione agli autovalori per l'operatore hamiltoniana:
Con condizione al bordo sostituita dalla richiesta che .

Tornando al problema di partenza, ovvero alla determinazione degli autovalori del laplaciano, possiamo osservare che:

  • L'operatore laplaciano è un operatore lineare quando definito su ;
  • L'operatore laplacaiano è un operatore simmetrico su

Da queste due proprietà seguono due teoremi, in realtà estensione di proprietà già viste nel caso finito dimensionale:

Teorema (1)

Per l'operatore laplaciano valgono le seguenti proprietà:

  • Gli autovalori di sono reali;
  • Le autofunzioni possono essere prese reali;
  • Ad autovalori distinti corrispondono autofunzioni ortogonali;
  • Gli autovettori possono costituire un sistema ortonormale completo.
 


Una caratterizzazione più precisa degli autovalori è data dal seguente teorema:

Teorema (2)
  • Gli autovalori di sono positivi;
  • Gli autovalori di sono non negativi, e è autovalore;
  • Gli autovalori di sono non negativi se
 


Pertanto risulta ora chiaro che ciascuno dei problemi visti sino ad ora può essere ricondotto ad un problema agli autovalori per l'operatore laplaciano. Vogliamo capire, e sarà oggetto di studio del prossimo capitolo, come trovare questi autovalori e se essi possano costituire un sistema ortonormale o meno.

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